《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.4 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.4 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 课时 几何计算问题 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 在ABC 中,c=2,A=30,B=120,则ABC 的面积为( ). A. 3 2 . 3 C.3 3.3 答案:B 2 已知三角形的面积为 1 4,其外接圆的面积为,则这个三角形的三边之积为( ). A.1B.2 C. 1 2.4 答案:A 3 已知锐角三角形 ABC 的面积为3 3, = 4, = 3,则角的大小为( ). A.75B.60C.45D.30 解析:由 SBCsinC=sinC = 1 23 3,得 = 3 2 , 又 C 为锐角,故 C=60. 答案:B 4 已知三角形两边之差为 2,它们夹角的余弦值 为
2、3 5,面积为14,则这个三角形的这两边长分别是( ). A.3 和 5B.4 和 6 C.6 和 8D.5 和 7 解析:设 a-b=2,cosCC = 3 5, = 4 5, SABCC=14,故 ab=35. = 1 2 由 a-b=2 和 ab=35, 解得 a=7,b=5. 答案:D 5 已知ABC 的面积 S =3, = 3,则 = . 解析:SA, = 1 2| 即1 2| 3 =3, 故| = 4, A=4co = | 3 = 2. 答案:2 6 如图,一块四边形土地 ABCD 的三边 AD=40 m,DC=30 m,CB=30 m,ADC=150,DCB=120, 则该土地的
3、面积约为 m2.(精确到 0.01 m2) 答案:1 289.71 7 已知 a,b,c 是ABC 的三边,其面积为 1 4(2 + 2 2),则角 = . 解析:由三角形的面积公式得 C 1 2 = 1 4(2 + 2 2), 所以 sinCC. = 2+ 2 - 2 2 = 所以 tanC=1,所以 C = 4. 答案: 4 8 已知三角形的两边长分别为 5 和 3,它们夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根,则三角形的第三 边长为 . 解析:设三角形的第三边长为 a(a0). 解方程 5x2-7x-6=0, 得 x1=). 3 5,2 = 2(舍去 因此已知两边夹角的余弦值, 为
4、 3 5,由余弦定理 得 a2=52+32-253 (- 3 5) = 52. 故 a=2 13,即所求边长为2 13. 答案:2 13 9 在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若ABC 的面积 S = 2 4 ,求角的大小. (1)证明由正弦定理得 sinB+sinC=2sinAcosB, 故 2sinAcosB=sinB+sin(A+B) =sinB+sinAcosB+cosAsinB. 于是 sinB=sin(A-B). 又 A,B(0,),故 0A-B, 所以,B=-(A-B)或 B=A-B, 因此
5、A=(舍去)或 A=2B, 所以,A=2B. (2)解由 SC = 2 4 ,得 1 2 = 2 4 , 故有 sinBsinC2B=sinBcosB. = 1 2 由 sinB0,得 sinC=cosB. 又 B,C(0,), 所以 C = 2 . 当 B+C,A = 2时 = 2; 当 C-B,A = 2时 = 4. 综上,AA = 2或 = 4. 能力提升能力提升 1 在ABC 中,aABC 的面积 S 为( ). =3, = 1, = 30,则 A. 3 2 . 3 4 C. 3 2 或 3 3 . 3 2 或 3 4 解析:由正弦定理 = , 得 sinA = = 330 1 = 3
6、 2 , 所以 A=60或 A=120. 当 A=60时,C=90,S = 1 2 = 1 2 3 1 = 3 2 ; 当 A=120时,C=30, SC30 = 1 2 = 1 2 3 1 = 3 4 . 答案:D 2 在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 2b=a+c,B=30,ABC 的面积为 3 2,则等于( ). A.1 +3.1 + 3 2 C. 2 + 3 2 .2 +3 解析:30ac=6. 由1 2 = 3 2 ,得 由余弦定理, 得 b2=a2+c2-2accos30=(a+c)2-2acb 3 = 42 12 6 3,得 =3 + 1. 答案:A 3
7、 在ABC 中,a=1,B=45,SABC=2,则ABC 外接圆的半径为( ). A.2 3.4 2 C. 5 2 2 .3 2 解析:SABCB45 = 1 2 = 1 2 = 2 4 . 又SABC=2,c=4 2. 又由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB =1+32-214 2 2 2 = 25, b=5. 又 = 2, R = 2 = 5 245 = 5 2 2 . 答案:C 4 如图所示,一块三角形土地 ABC,AD 是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cosCAD = 31 32, = ,则该土地的面积是 2. 解析:设 CD=xm,则 AD=BD=(5-x)m. 在
8、CAD 中,由余弦定理,可知 cosCAD = (5 - )2+ 42 - 2 2 4 (5 - ) = 31 32, 解得 x=1. CD=1m,AD=BD=4m. 在CAD 中,由正弦定理,可知 = , sinC = 1 - 2 =4 1 - ( 31 32) 2 = 3 7 8 . SABCBCsinC = 1 2 = 1 2 4 5 3 7 8 = 15 7 4 (2). 答案: 15 7 4 5 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,证明: 2 - 2 2 = ( - ) . 证明由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB.
9、 两式相减,得 a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bcosA), 即 a2-b2=c(acosB-bcosA), BA. 则 2 - 2 2 = - = 由正弦定理 = = , 得 = , = . 故 2 - 2 2 = - = ( - ) . 6 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C+(cos A 3 ) = 0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosBAcosB=0,即有 sinAsinBAcosB=0. 33 因为 sinA0,所以 sinBB=0, 3 又
10、cosB0,所以 tanB= 3. 又 0B,所以 B = 3. (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accosB. 因为 a+c=1,cosB = 1 2, 所以 b2=3( - 1 2) 2 + 1 4. 又 0a1,于是b21,即b1. 有1 4 有1 2 7 如图,在ABC 中,ABC=90,ABABC 内一点,BPC=90. =3, = 1,为 (1)若 PB = 1 2,求; (2)若APB=150,求 tanPBA. 解(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30. 在PBA 中,由余弦定理得 PA2=330 + 1 4 2 3 1 2 = 7 4. 故 PA = 7 2 . (2)设PBA=,则PCB=PBA=,由已知得 PB=sin. 在PBA 中,由正弦定理得 3 150 = (30 - ), 化简=4sin. 得 3 所以 tantanPBA = 3 4 ,即 = 3 4 .
