《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 习题课1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 习题课1 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课习题课(一一) 求数列的通项公式求数列的通项公式 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第 25 项为( ). A.2B.6C.7D.8 解析:1+2+3+4+nn=6 时,共 21 项,故第 25 项为 7. = ( + 1) 2 ,当 答案:C 2 在数列an中,a1=2,an+1=3an+2,则 a2 016的值为( ). A.32 015B.32 015-1 C.32 016D.32 016-1 答案:D 3 数列 1 7, 2 9, 3 11, 4 13,的一个通项公式是( ). A.an = 2 + 3. = 2 - 3
2、C.an = 2 + 5. = 2 - 5 答案:C 4 已知数列an满足 an+2=an+1+an,若 a1=1,a5=8,则 a3等于( ). A.1B.2C.3D. 7 2 解析:由 an+2=an+1+an,a1=1,a5=8,得 a3=a2+1,a4=a3+a2,消去 a2得 a4=2a3-1.又 a5=a4+a3=8,即 8=3a3-1, 所以 a3=3.故选 C. 答案:C 5 已知数列前 n 项和 Sn=2n2-3n+1,nN*,则它的通项公式为 . 解析:当 n=1 时,a1=S1=0; 当 n2 时,an=Sn-Sn-1 =2n2-3n+1-2(n-1)2-3(n-1)+1
3、=4n-5, 故 an = 0, = 1, 4 - 5, 2. ? 答案:an = 0, = 1, 4 - 5, 2 ? 6 在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则 a2 016= . 解析:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an, a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5. 数列an是周期数列,周期为 6. a2016=a6336=a6=-4. 答案:-4 7 在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an= . 解析:an+1=an+n+1,an+1-an=n+1. a2-a1=2,a3-a2
4、=3,a4-a3=4,an-an-1=n,各式相加得 an-a1=2+3+4+n = ( + 2)( - 1) 2 . 又 a1=2,an = ( + 2)( - 1) 2 + 2 = 2+ + 2 2 . 答案: 2+ + 2 2 8 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 log2(Sn+1)=n+1,则 an= . 解析:log2(Sn+1)=n+1,Sn=2n+1-1. 当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n. 当 n=1 时,上式不满足, an = 3, = 1, 2, 2. ? 答案: 3, = 1, 2, 2 ? 9 根据下
5、列条件,求数列的通项公式 an. (1)在数列an中,a1=1,an+1=an+2n; (2)在数列an中,an+1an,a1=4. = + 2 解(1)an+1=an+2n, an+1-an=2n. a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23, an-an-1=2n-1,以上各式两边分别相加得 an-a1=2+22+23+2n-1 = 2(1 - 2 - 1) 1 - 2 = 2 2. 又 a1=1,an=2n-2+1=2n-1. (2)an+1an, = + 2 + 1 = + 2 . 2 1 = 3 1, 3 2 = 4 2, 4 3 = 5 3, 5 4 = 6 4, - 1
6、= + 1 - 1 . 以上各式两边分别相乘得 1 = ( + 1) 1 2 = ( + 1) 2 . 又 a1=4,an=2n(n+1). 10 已知an是公差为 3 的等差数列,数列bn满足 b1=1,b2 = 1 3, + 1 + + 1 = . (1)求an的通项公式; (2)求bn的前 n 项和. 解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2a1=2. = 1 3 ,得 所以数列an是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n-1. (2)由(1)和 anbn+1+bn+1=nbn得 bn+1 = 3, 因此bn是首项为 1,公比. 为1 3的等比数列 记bn
7、的前 n 项和为 Sn, 则 Sn = 1 - ( 1 3) 1 - 1 3 = 3 2 1 2 3 - 1. 能力提升能力提升 1 在数列an中,an+1 = 1 + 3,1 = 2,则4等于( ). A. 16 5 . 2 19. 8 5. 8 7 答案:B 2 已知数列an的前 n 项和 Sn=n2-2n,则 a2+a18等于( ). A.36B.35C.34D.33 解析:a2+a18=S2-S1+S18-S17=(22-22)-(12-21)+(182-218)-(172-217)=34. 答案:C 3 已知 nN*,给出 4 个表达式:an =0,为奇数, 1,为偶数, ? = 1
8、 + ( - 1) 2 , = 1 + 2 , =| 2|.其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是 ( ). A.B.C.D. 解析:经检验知都是所给数列的通项公式,故选 A. 答案:A 4 已知在数列an中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n2),则数列an的通项公式为 . 解析:由(2n+1)an=(2n-3)an-1, 可2), 得 - 1 = 2 - 3 2 + 1( 所2). 以 2 1 = 1 5, 3 2 = 3 7, 4 3 = 5 9, 5 4 = 7 11, - 1 = 2 - 3 2 + 1( 上述各式左右两边分别相乘2),故 a
9、n2). 得 1 = 1 3 (2 - 1)(2 + 1)( = 3 (2 - 1)(2 + 1)( 又 a1=1 满足上式,所以数列an的通项公式为 anN*). = 3 (2 - 1)(2 + 1)( 答案:an = 3 (2 - 1)(2 + 1) 5 若数列an满足 a1 = 2 3,2 = 2,3( + 1 2 + 1) = 2,则数列的通项公式为 . 解析:由 3(an+1-2an+an-1)=2 可得 an+1-2an+an-1(an+1-an)-(an-an-1) = 2 3 ,即 = 2 3, 所以数列an+1-an是以 a2-a1, = 4 3为首项, 2 3为公差的等差数
10、列 所以 an+1-an = 4 3 + 2 3( 1) = 2 3( + 1). 故 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1) =a1+n) + 2 3(2 + 3 + = 1 3( + 1). 答案:an = 1 3( + 1) 6 已知在数列an中,an+1=2an+32n+1,且 a1=2,则数列an的通项公式为 . 解析:an+1=2an+32n+1, + 1 2 + 1 = 2 + 3,即 + 1 2 + 1 2 = 3. 数3 的等差数列. 列 2是公差为 又 1 2 = 1, 2 = 1 + 3( 1), an=(3n-2)2n. 答案:an=(3n-2)
11、2n 7 已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1. (1)证明 + 1 2是等比数列,并求的通项公式; (2)证明 1 1 + 1 2 + + 1 3 2. (1)解由 an+1=3an+1,得 an+1 + 1 2 = 3(+ 1 2). 又 a13 的等比数列. + 1 2 = 3 2 ,所以 + 1 2是首项为 3 2,公比为 anan的通项公式为 an + 1 2 = 3 2 ,因此 = 3 - 1 2 . (2)证明由(1)知 1 = 2 3 - 1 . 因为当 n1 时,3n-123n-1, 所以 1 3 - 1 1 2 3 - 1. 于1 是 1 1 + 1 2 + +
12、 1 + 1 3 + + 1 3 - 1 = 3 2( 1 - 1 3) 3 2. 所以 1 1 + 1 2 + + 1 3 2. 8 设数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n=1,2,). (1)证明:数列an是等比数列; (2)若数列bn满足 bn+1=an+bn(n=1,2,),b1=2,求数列bn的通项公式. (1)证明因为 Sn=4an-3(n=1,2,), 所以 Sn-1=4an-1-3(n=2,3,), 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 整理,得 - 1 = 4 3. 由 Sn=4an-3,令 n=1,得 a1=4a1-3,解得 a1=1. 所以数列an是首项为 1,公比. 为4 3的等比数列 (2)解由(1)得 an =(4 3) - 1, 由 bn+1=an+bn(n=1,2,), 得 bn+1-bn =(4 3) - 1. 则 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1) =2 + 1 - ( 4 3) - 1 1 - 4 3 = 3 (4 3) - 1 1.
