《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 习题课2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 习题课2 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课习题课(二二) 数列求和数列求和 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 设数列an的前 n 项和为 Sn,如果 an = 1 (2 - 1)(2 + 1),那么5等于( ). A. 1 2. 5 11 C. 4 9. 5 9 解析:an = 1 (2 - 1)(2 + 1) = 1 2( 1 2 - 1 - 1 2 + 1), S5 = 1 2( 1 - 1 3 + 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + 1 7 - 1 9 + ? ? 1 9 - 1 11) = 5 11 . 答案:B 2 若数列an的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列an的前 n 项和为( ). A.
2、2n+n2-1B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2D.2n+n-2 解析:Sn=(2+22+2n)+(1+3+5+2n-1) = 2(1 - 2) 1 - 2 + (1 + 2 - 1) 2 = 2 + 1 2 + 2. 答案:C 3 数列an的通项公式 an = 1 + + 1,若该数列前项的和为10,则项数为( ). A.11B.99C.120D.121 解析:an = 1 + + 1 = + 1 , Sn= + 1 1 = 10, n=120. 答案:C 4 数列 1 2 5, 1 5 8, 1 8 11, 1 (3 - 1)(3 + 2),的前项和为( ). A. 3 + 2
3、. 6 + 4 C. 3 6 + 4. + 1 + 2 解析: 1 (3 - 1)(3 + 2) = 1 3( 1 3 - 1 - 1 3 + 2), 所求和为 1 3( 1 2 - 1 5 + 1 5 - 1 8 + 1 8 - 1 11 + + ? ? 1 3 - 1 - 1 3 + 2) = 1 3( 1 2 - 1 3 + 2) = 6 + 4 . 答案:B 5 已知数列an,其前 n 项和为 Sn,且 an=-2n-(-1)n,则 S10= . 解析:S10=-2(1+2+3+10)+(1-1+1-1+1-1)=-2( 10 11 2 + 0)= 110. 答案:-110 6 已知
4、an=lN*),则数列an的前 n 项和为 Sn= . (1 + 1 )( 解析:an=ln, + 1 = ( + 1) Sn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)-ln1=ln(n+1). 答案:ln(n+1) 7 设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 S2=4,an+1=2Sn+1,nN*. (1)求通项公式 an; (2)求数列|an-n-2|的前 n 项和. 解(1)由题意 得 1+ 2 = 4, 2= 21 + 1, ? 则1 = 1, 2 = 3. ? 又当 n2 时,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+
5、1)=2an, 得 an+1=3an. 所以,数列an的通项公式为 an=3n-1,nN*. (2)设 bn=|3n-1-n-2|,nN*,b1=2,b2=1. 当 n3 时,由于 3n-1n+2,故 bn=3n-1-n-2,n3. 设数列bn的前 n 项和为 Tn,则 T1=2,T2=3. 当 n3 时,Tn=3 + 9(1 - 3 - 2) 1 - 3 ( + 7)( - 2) 2 = 3 - 2 - 5 + 11 2 , 所以 Tn = 2, = 1, 3 - 2 - 5 + 11 2 , 2, *. ? 8 已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0,S5=-5. (1)求数列
6、an的通项公式; (2)求数 列 1 2 - 12 + 1的前项和. 解(1)设等差数列an的公差为 d,则 Sn=na1 + ( - 1) 2 . 由已知可 得 31+ 3 = 0, 51+ 10 = - 5, ? 解得 a1=1,d=-1. 故数列an的通项公式为 an=2-n. (2)由(1) 知 1 2 - 12 + 1 = 1 (3 - 2)(1 - 2) = 1 2( 1 2 - 3 - 1 2 - 1) , 从而数n 项和为 列 1 2 - 12 + 1的前 1 2( 1 - 1 - 1 1 + 1 1 - 1 3 + + 1 2 - 3 - 1 2 - 1) = 1 - 2 .
7、 9 已知an是等差数列,bn是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列cn的前 n 项和. 解(1)等比数列bn的公比 q = 3 2 = 9 3 = 3, 所以 b1 = 2 = 1,4 = 3 = 27. 设等差数列an的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列cn的前 n 项和 Sn=1+3+(2n-1
8、)+1+3+3n-1 = (1 + 2 - 1) 2 + 1 - 3 1 - 3 = 2 + 3 - 1 2 . 能力提升能力提升 1 数列an,bn都是等差数列,a1=5,b1=7,且 a20+b20=60,则an+bn的前 20 项和为( ). A.700B.710C.720D.730 解析:数列an+bn也是等差数列,其首项为 12,第 20 项为 60,所以其前 20 项和 为 20(1+ 1+ 20+ 20) 2 = 20 (12 + 60) 2 = 720. 答案:C 2 已知数列an的通项公式 an = 2 - 1 2 ,其前项和 = 321 64 ,则的值为( ). A.13B
9、.10C.9D.6 解析:an = 2 - 1 2 = 1 (1 2) , Sn=n 1 2( 1 - 1 2) 1 - 1 2 = 1 + 1 2 = 321 64 = 5 + 1 64, n=6. 答案:D 3 已知数列an :1 2, 1 3 + 2 3, 1 4 + 2 4 + 3 4, 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5,则数列 1 + 1的前项和为( ). A.4( 1 - 1 + 1).4( 1 2 - 1 + 1) C.1 1 + 1. 1 2 1 + 1 解析:an = 1 + 2 + 3 + + + 1 = ( + 1) 2 + 1 = 2, bn = 1 + 1
10、= 4 ( + 1) = 4(1 - 1 + 1). Sn =4( 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + + 1 - 1 + 1) =4( 1 - 1 + 1). 答案:A 4 已知数列an的前 n 项和为 Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则 S15+S22-S31的值是( ). A.13B.-76C.46D.76 解析:S15=1+(-5+9)+(-13+17)+(-53+57)=1+47=29,S22=(1-5)+(9-13)+(81-85)=-411=-44,S31=1+(-5+9)+(- 13+17)+(-117+121)=
11、1+415=61, S15+S22-S31=29-44-61=-76. 答案:B 5 在数列an中,an=( 2 + 2),前项和为,则100 = . 解析:易知 a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4, a1+a2+a3+a4=0. 又 si4, 2 + 2 的周期为 an+an+1+an+2+an+3=0,S100=0. 答案:0 6 在有限数列an中,Sn为an的前 n 项和, 把 1+ 2+ + 称为数列的“优化和”.若数列1,2,3,2 015的“优化和”为2 016,则数列1,1,2,3,2 015 的“优化和”为 . 解析:设数列 1,a1,a2,a3,a2015的前 n 项
12、和为 Tn, 则 T1=1,T2=S1+1,T3=S2+1,T4=S3+1,T2015=S2014+1,T2016=S2015+1, 于是 T1+T2+T3+T2016=2016+S1+S2+S2015. 016, 1+ 2+ + 2015 2015 = 2 S1+S2+S2015=20152016. T1+T2+T3+T2016 =2016+20152016=20162, 其优化和016. 为2016 2 2016 = 2 答案:2 016 7 等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 nN*,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b0,且 b1,b,r 均为常数)的图 象上. (1
13、)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bnN*),求数列bn的前 n 项和 Tn. = + 1 4 ( 解(1)由题意,得 Sn=bn+r, 当 n2 时,Sn-1=bn-1+r, an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1). b0,且 b1, 当 n2 时,数列an是以 b 为公比的等比数列. 又 a1=b+r,a2=b(b-1) , 2 1 = , r=-1. 即( - 1) + = ,解得 (2)由(1)知,an=(b-1)bn-1=2n-1,nN*, bn = + 1 4 2 - 1 = + 1 2 + 1. Tn = 2 22 + 3 23 + 4 24 + + + 1 2 + 1, 1 2 = 2 23 + 3 24 + + 2 + 1 + + 1 2 + 2 , 两式相减, 得1 2 = 2 22 + 1 23 + 1 24 + + 1 2 + 1 + 1 2 + 2 = 1 2 + 1 23 ( 1 - 1 2 - 1) 1 - 1 2 + 1 2 + 2 = 3 4 1 2 + 1 + 1 2 + 2 , 故 Tn = 3 2 1 2 + 1 2 + 1 = 3 2 + 3 2 + 1.
