《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式 3.4.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式 3.4.2 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 课时 基本不等式的应用 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 已知 p,qR,若 pq=100,则 p2+q2的最小值是( ). A.200B.100C.50D.20 解析:p2+q22pq=200,当且仅当 p=q=10 或 p=q=-10 时,等号成立. 答案:A 2 在下列函数中,最小值为 2 的是( ). A.y=x + 1 B.y=3x+3-x C.y=lg x + 1 (0 0, 0), 则 y = 8 4(0 0,b0,且 1 + 1 =. (1)求 a3+b3的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 解(1)ab2,且当 a=b,等号成立
2、. 由 = 1 + 1 2 ,得 =2时 故 a3+b3a=b,等号成立. 233 4 2,当且仅当 =2时 所以 a3+b3的最小值为4 2. (2)由(1)知,2a+3b2 6 4 3. 由a,b,使得 2a+3b=6. 于4 3 6,从而不存在 能力提升能力提升 1 若 a,b 是实数,且 a+b=3,则 2a+2b的最小值是( ). A.6B.4 2.2 6.8 解析:2a+2b2a=2b,即 a=b,等号成立. 2 2 2 = 2 2 + = 223= 4 2,当且仅当 = 3 2时 答案:B 2 在三棱锥 O-ABC 中,OA,OB,OC 两两垂直,若 OC=1,OA=x,OB=y
3、,x+y=4,则三棱锥 O-ABC 体积的 最大值是( ). A. 2 3. 1 3.1. 3 3 解析:VOASOBCOA OBOCx y1 = 1 3 = 1 3 1 2 = 1 3 1 2 = 1 6. 因为 x+y=4,x0,y0, 所以 4=x+yxy4. 2 ,所以 所以 Vx=y=2 时,等号成立. = 1 6 2 3,当且仅当 答案:A 3 某公司租地建仓库,每月租金 y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2与到车 站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1与 y2分别为 2 万元和 8 万元,那么, 要使这两项费用之和最小,仓库应建在
4、离车站 千米处. 解析:设仓库建在离车站 d 千米处, 设 y1 = 1 ,2 = 2, 由 y1=2k1=20,y1 = 1 10 ,得 = 20 . 由 y2=8=10k2,得 k2 = 4 5, 2 = 4 5. y1+y2 = 20 + 4 5 2 20 4 5 = 8, 当且仅d=5 时,两项费用之和最小. 当20 = 4 5 ,即 答案:5 4 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 千米,为了安全,两 列货车的间距不得小 于( 20) 2千米,这批货物全部运到市,最快需要 小时(不计货车的身长). 解析:设这批货物从 A 市全
5、部运到 B 市的时间为 t,则 t = 400 + 16( 20) 2 = 400 + 16 400 ), 2 400 16 400 = 8(小时 当且仅v=100 时等号成立, 当400 = 16 400 ,即 此时 t=8 小时. 答案:8 5 某种汽车的购车费用为 10 万元,每年的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第 一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元.求这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少. 解设汽车使用 x 年时,它的年平均费用最少.由年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,可 知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项,0.2
6、 万元为公差的等差数列,因此,汽车使用 x 年时总的维修 费用. 为(0.2 + 0.2) 2 万元 设汽车的年平均费用为 y 万元, 则 y = 10 + 0.9 + (0.2 + 0.2) 2 = 10 + + 0.12 =11+ + 10 + 10 2 10 10 = 3, 当且仅x=10 时,y 取得最小值. 当10 = 10 ,即 故这种汽车使用 10 年时,它的年平均费用最少. 6(1)已知 a,b,c0,求证a+b+c; : 2 + 2 + 2 (2)已知 a0,b0,a+b=1,求证8. :1 + 1 + 1 证明(1)a,b,c0, , 2 , 2 , 2 均大于 a=b 时
7、等号成立; 2 + 2 2 = 2,当且仅当 2 = ,即 b=c 时等号成立; 2 + 2 2 = 2,当且仅当 2 = ,即 a=c 时等号成立. 2 + 2 2 = 2,当且仅当 2 = ,即 以上三式相加2a+2b+2c, 得 2 + + 2 + + 2 + 当且仅当 a=b=c 时等号成立. a+b+c. 2 + 2 + 2 (2) 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + + = 2(1 + 1 ). a+b=1,a0,b0, 2+2=4, 1 + 1 = + + + = 2 + + 1 + 1 + 1 8(当且仅当 = = 1 2时等号成立). 7 如图,公园想建一块面积为 144
8、 平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有 44 米 铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用 x 米墙, (1)求 x 的取值范围; (2)求最少需要多少米铁丝网.(精确到 0.1 米) 解(1)由于矩形草地的面积是 144 平方米,一边长是 x 米,则另一边长, 为144 米 则矩形草地所需铁丝网长度为 y=x+2 144 . 令 y=x+244(x0),解得 8x36, 144 故 x 的取值范围是8,36. (2)由基本不等式,得 y=x2 + 288 4 2, 当且仅当 xx17.0 时,等号成立, = 288 ,即 则 ymin=234.0, 4 2 故最少需要约 34.0 米铁丝网.
