《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §1 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 从平面向量到空间向量从平面向量到空间向量 学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解 空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念 知识点一 空间向量的概念 思考 1 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量 思考 2 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？ 答案 一定相同因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的 起点相同，终点也相同 梳理 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量 (2)长度：空间
2、向量的大小叫作向量的长度或模 (3)表示法Error!Error! (4)自由向量：与向量的起点无关的向量 知识点二 空间向量的夹角 思考 在平面内，若非零向量 a 与 b 共线，则它们的夹角是多少？ 答案 0 或 . 梳理 空间向量的夹角 (1)文字叙述：a，b 是空间中两个非零向量，过空间任意一点 O，作a，b，则 OA OB AOB 叫作向量 a 与向量 b 的夹角，记作a，b (2)图形表示 角度表示 a，b0 a，b是锐角 a，b是直角 a，b是钝角 a，b (3)范围：0a，b. (4)空间向量的垂直：如果a，b ，那么称 a 与 b 互相垂直，记作 ab. 2 知识点三 向量与直
3、线、平面 1向量与直线 与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向如图所示 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称为直线 l 的方向向量，显然，与平 AB AB 行的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量，直线的方向向量平行于该直线 2向量与平面 如图，如果直线 l 垂直于平面 ，那么把直线 l 的方向向量 a 叫作平面 的法向量 类型一 有关空间向量的概念的理解 例 1 给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量 a，b 满足|a|b|，则 ab；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量 m，n，p 满足 AC A1C1
4、mn，np，则 mp.其中不正确的个数是( ) A1B2C3D4 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量 a，b 满足|a|b|，则不一定能判断出 ab，故不正确；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有 成立，故正确；显然正确故选 B. AC A1C1 反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完 全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等两向量互为相反向量的 充要条件是大小相等，方向相反 跟踪训练 1 在平行六面体 ABCDA1B1C1D
5、1中，下列四对向量： 与；与；与；与.其中互为相反向量的有 n 对， AB C1D1 AC1 BD1 AD1 C1B A1D B1C 则 n 等于( ) A1B2 C3D4 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 对于与，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于 AB C1D1 AD1 C1B 与长度相等，方向不相反；对于与长度相等，方向相同故互为相反 AC1 BD1 A1D B1C 向量的有 2 对 类型二 求空间向量的夹角 例 2 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角： (1)， ；(2)， ；(3)， AB A1C1 AB
6、C1A1 AB A1D1 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 解 (1)由题意知， A1C1 AC ， AB A1C1 AB AC 又CAB ， 4 故， . AB A1C1 4 (2)， . AB C1A1 AB A1C1 4 3 4 (3)由题意知， . A1D1 AD AB A1D1 AB AD 2 引申探究 在本例中，求， AB1 DA1 解 如图，连接 B1C，则 B1CA1D， 且，连接 AC， DA1 CB1 在ACB1中，因为 ACAB1B1C， 故AB1C ， 3 ， . AB1 DA1 AB1 CB1 3 反思与感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原
7、几何图形的性质，把空间向量的夹角转 化为平面向量的夹角，要注意向量方向 跟踪训练 2 如图，在正四面体 ABCD 中， ，的大小为( ) AB CD A. B. C. D. 4 3 2 6 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 C 解析 取 AB 的中点 O，连接 OC，OD， 易得 OCAB，ODAB. OCODO，OC，OD?平面 OCD， AB平面 OCD，又 CD?平面 OCD，ABCD. 得， . AB CD 2 类型三 直线的方向向量与平面法向量的理解 例 3 已知正四面体 ABCD. (1)过点 A 作出方向向量为的空间直线； BC (2)过点 A 作
8、出平面 BCD 的一个法向量 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 解 (1)如图，过点 A 作直线 AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线 AE 即为过点 A 且方向向量为的空间直线 BC (2)如图，取BCD 的中心 O，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面 BCD，故向量 可作为平面 BCD 的一个法向量 AO 反思与感悟 直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个， 它们互相平行 给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，可以确定：(1)唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直 线；(2)唯一一个过点 A 且垂直于向量 a 的平面 跟踪训
9、练 3 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是 DD1的中点，以 C1为起点，指出 直线 AP 的一个方向向量 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 解 取 BB1中点 Q，C1C 中点 M，连接 C1Q，BM，PM，则 PMAB，且 PMAB.所以四 边形 APMB 为平行四边形，所以 APBM，且 APBM.又在四边形 BQC1M 中， BQC1M，且 BQC1M， 所以四边形 BQC1M 为平行四边形， 所以 BMC1Q，且 BMC1Q， 所以 APC1Q，故为直线 AP 的一个方向向量 C1Q 1下列说法正确的是( ) A如果两个向量不相等，那么它们的
10、长度不相等 B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C向量模的大小与方向有关 D向量的模可以比较大小 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D 解析 两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A 不正确；任何两个向量，不论同向还 是不同向均不存在大小关系，B 不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系， C 不正确由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有 D 正确 2如图，在四棱柱的上底面 ABCD 中，则下列向量相等的是( ) AB DC A.与 AD CB B.与 OA OC C.与 AC DB D.与 DO OB 考点 空间向量的相关概念及
11、其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D 解析 因为，所以四边形 ABCD 为平行四边形所以， AB DC DO OB AD BC OA . CO 3在正四面体 ABCD 中，O 为平面 BCD 的中心，连接 AO，则是平面 BCD 的一个 AO _向量 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 法 解析 由四面体 ABCD 为正四面体，易知 AO面 BCD，故是平面 BCD 的一个法向 OA 量 4在直三棱柱 ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面 ABC 法向量的是_(填序 号) ；. AB AA1 B1B A1C1 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求
12、平面的法向量 答案 5.如图，在长方体 ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体 的顶点为起点和终点的向量中： 单位向量共有多少个？ 试写出模为的所有向量； 5 试写出与向量相等的所有向量； AB 试写出向量的所有相反向量 AA 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模 解 由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量， AA AA BB BB ，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量 CC CC DD DD 共有 8 个 由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有， 55 AD DA AD DA ，. BC
13、CB BC CB 与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，. AB AB DC DC 向量的相反向量有，. AA AA BB CC DD 在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量； 二是该向量与直线平行或重合二者缺一不可 给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量 a 的直 线 一、选择题 1两个非零向量的模相等的是两个向量相等的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 ab|a|b|；|a|b|ab. 2如图，在
14、直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，以顶点为起点和终点的向量中，平 面 BB1C1C 的法向量的个数为( ) A0B2C3D4 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D 解析 依题意知，ACB90，所以 A1C1平面 BB1C1C，AC平面 BB1C1C，所以平面 BB1C1C 的法向量为， ，共 4 个 AC CA A1C1 C1A1 3在四边形 ABCD 中，若，且|，则四边形 ABCD 为( ) AB DC AC BD A菱形B矩形 C正方形D不确定 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 若，则 ABDC，且 ABDC，所以四边形 ABCD 为平行四边形又| AB DC AC |，即 ACBD，所以四边形 ABCD 为矩形 BD 4下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A平面 的法向量垂直于与平面
