《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.1 （16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 双曲线双曲线 31 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方 程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题 知识点一 双曲线的定义 思考 如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在 点 F1，F2上，把笔尖放在点 M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那 么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 答案 曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使 |MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线 梳理 (1)平面内到两个定点 F1，F2的距离之
2、差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点 的集合叫作双曲线定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦 距； (2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|” ，其余条件不变，则动点集 合是以 F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|” ，其 余条件不变，则动点集合为空集 (3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的集合只有双曲线的一支 (4)若常数为零，其余条件不变，则点的集合是线段 F1F2的中垂线 知识点二 双曲线的标准方程 思考 双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆中
3、a，b，c 的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中，b2c2a2，即 c2a2b2，其中 ca，cb，a 与 b 的大小关系 不确定；而在椭圆中 b2a2c2，即 a2b2c2，其中 ab0，ac，c 与 b 大小不确定 梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程 焦点所在的坐标轴x 轴y 轴 标准方程1 x2 a2 y2 b2 (a0，b0) 1 y2 a2 x2 b2 (a0，b0) 图形 焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) a，b，c 的关系式a2b2c2 (2)焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型 “焦点跟着 正项走” ，
4、若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，那么焦点在 y 轴 上 1平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线() 2平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线() 3平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线() 类型一 双曲线定义的应用 例 1 (1)若双曲线 E：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且 x2 9 y2 16 |PF1|3，则|PF2|等于( ) A11B9 C5D3 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案
5、 B 解析 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6， 即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选 B. (2)设 F1，F2分别是双曲线 x21 的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且 y2 24 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于( ) A4B8 23 C24D48 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C 解析 由题意，得Error!Error! 解得Error!Error! 又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形， 则 |PF1|PF2|24. 1 2 PF F SA 1 2 反思与感悟 焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定
6、了双曲线标准方程的类 型 “焦点跟着正项走” ，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，那么 焦点在 y 轴上双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为 Ax2By21(AB0) 跟踪训练 1 在ABC 中，已知|AB|4，A(2，0)，B(2，0)，且内角 A，B，C 满 222 足 sinBsinA sinC，求顶点 C 的轨迹方程 1 2 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 解 由 sin Bsin A sin C 及正弦定理， 1 2 可得 ba ， c 2 从而有|CA|CB| |AB|2|AB|， 1 22 由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右
7、支 a，c2， 22 b2c2a26， 顶点 C 的轨迹方程为1(x) x2 2 y2 62 类型二 求双曲线的标准方程 例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)焦距为 26，且经过点 M(0,12)； (2)双曲线上两点 P1，P2的坐标分别为(3，4)，. 2 ( 9 4，5) 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12. 又 2c26，c13，b2c2a225. 双曲线的标准方程为1. y2 144 x2 25 (2)设双曲线的方程为 mx2ny21(m
8、n0)， 则Error!Error!解得Error!Error! 双曲线的标准方程为1. y2 16 x2 9 反思与感悟 待定系数法求方程的步骤 (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴 (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式： 若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为 Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为 x2 a2 y2 b2 1(b21 Cm3Dm0，即 m1. 2已知 F1(8,3)，F2(2,3)，动点 P 满足|PF1|PF2|10，则 P 点的轨迹是( ) A双曲线B双曲线的一支 C直线D一条射线 考点 双曲线
9、的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 D 解析 F1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10 的点 P 的轨迹应为一 条射线 3过点(1,1)，且 的双曲线的标准方程是( ) b a2 A.y21B.x21 x2 1 2 y2 1 2 Cx21D.y21 或x21 y2 1 2 x2 1 2 y2 1 2 考点 双曲线的标准方程 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 D 解析 ，b22a2.当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为1，将点(1,1)代 b a2 x2 a2 y2 2a2 入方程中，得 a2 .此时双曲线方程为y21.同理求得焦点在 y 轴上时，双曲线
10、方程为 1 2 x2 1 2 x21. y2 1 2 4经过点 P(3,2)和 Q(6，7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 72 _ 考点 双曲线标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线标准方程 答案 1 y2 25 x2 75 解析 设双曲线的方程为 mx2ny21(n0，m0)， 则Error!Error!解得Error!Error! 故双曲线的标准方程为1. y2 25 x2 75 5椭圆1 与双曲线1 有相同的焦点，则 a 的值为_ x2 4 y2 a2 x2 a y2 2 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 1 解析 由题意知Error!Error!解得
11、 a1. 1双曲线定义的理解 (1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设 F1，F2表示双曲线的左、右焦 点： 若|MF1|MF2|2a，则点 M 在右支上； 若|MF2|MF1|2a，则点 M 在左支上 (2)双曲线定义的双向运用： 若|MF1|MF2|2a(05”是“方程1 表示双曲线”的( ) x2 k5 y2 k2 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 A 解析 当 k5 时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5 或 k0，b0)，则 x2 a2 y2 b2 a2b25. 线段
12、PF1的中点的坐标为(0,2)， 点 P 的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程， 5 得1. 5 a2 16 b2 由解得 a21，b24，双曲线的方程为 x21. y2 4 6已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2等于( ) A. B. C. D. 1 4 3 5 3 4 4 5 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C 解析 由双曲线定义知，|PF1|PF2|2， 2 又|PF1|2|PF2|， |PF2|2，|PF1|4，|F1F2|2c24. 22a2b2 cosF1PF2 |PF1|2|P
13、F2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| . 32816 2 2 2 4 2 24 16 2 3 4 7已知双曲线 C：x21 的右焦点为 F，P 是双曲线 C 的左支上一点，M(0,2)，则 y2 3 PFM 的周长的最小值为( ) A24B42 22 C3D23 26 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 A 解析 由题意可知 c2，a1，设 F1为左焦点， 则|MF|2，则|PM|PF|PM|PF1|2a， 2 当 M，P，F1三点共线时(P 在 M，F1之间)， |PM|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|2， 2 故周长的最小值为 22224. 222 二、填
14、空题 8已知 F1，F2是双曲线1 的左、右焦点，PQ 是过焦点 F1的弦，且 PQ 的倾斜角 x2 16 y2 9 为 60，那么|PF2|QF2|PQ|的值为_ 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 16 解析 z 9若曲线 C：mx2(2m)y21 是焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围为_ 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 (2，) 解析 由曲线 C：mx2(2m)y21 是焦点在 x 轴上的双曲线，可得1， x2 1 m y2 1 m2 即有 m0，且 m20，解得 m2. 10已知双曲线的两个焦点 F1(，0)，F2(，0)，P 是双曲线上
15、一点， 55 且0，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_ PF1 PF2 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 y21 x2 4 解析 由题意可设双曲线1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 由0，得 PF1PF2. PF1 PF2 根据勾股定理，得|PF1|2|PF2|2(2c)2， 即|PF1|2|PF2|220. 根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a. 两边平方并代入|PF1|PF2|2， 得 20224a2，解得 a24， 从而 b2541， 所以双曲线方程为y21. x2 4 11过双曲线1 的一个焦点作 x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点 x2 144 y2 25 的距离分别为_ 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 ， 25 1
