《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §2 2.1 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §2 2.1 (14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2 抛物线抛物线 21 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3. 明确抛物线标准方程中参数 p 的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程的问题 知识点一 抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线点 F 叫 作抛物线的焦点,这条定直线 l 叫作抛物线的准线 (2)定义的实质可归纳为“一动三定”:一个动点,设为 M;一个定点 F(抛物线的焦点); 一条定直线(抛物线的准线);一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等 于 11
2、) 知识点二 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点? 答案 (1)是关于 x,y 的二元二次方程,且只有一个二次项,一个一次项,根据平方项可 以确定一次项的取值范围(2)p 的几何意义是焦点到准线的距离 梳理 由于抛物线焦点位置不同,方程也就不同,故抛物线的标准方程有以下几种形式: y22px(p0),y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0) 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下: 标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 图形 焦点坐标 ( p 2,0) ( p 2,0) (0, p 2) (0
3、, p 2) 准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 p 的几何 意义 焦点到准线的距离 1抛物线的方程都是二次函数() 2抛物线的焦点到准线的距离是 p.() 3抛物线的开口方向由一次项确定() 类型一 抛物线定义及应用 例 1 (1)已知抛物线 C:y2x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF| x0,则 x0等于( ) 5 4 A1B2C4D8 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 A 解析 由题意,知抛物线的准线为 x . 1 4 因为|AF| x0,根据抛物线的定义,得 5 4 x0 |AF| x0,所以 x01,故选 A. 1 4 5
4、 4 (2)若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是( ) Ay216xBy232x Cy216xDy232 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 点 P 到点(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1, 将直线 x50 右移 1 个单位, 得直线 x40,即 x4, 点 P 到直线 x4 的距离等于它到点(4,0)的距离 根据抛物线的定义,可知 P 的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线 x4 为准线的抛物线 设抛物线方程为 y22px(p0),可得 4,得 2p16, p 2 抛物线的标准方程为 y216x, 即
5、 P 点的轨迹方程为 y216x,故选 C. 反思与感悟 抛物线的判断方法 (1)可以看动点是否符合抛物线的定义,即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距 离 (2)求出动点的轨迹方程,看方程是否符合抛物线的方程 跟踪训练 1 (1)抛物线 x24y 上的点 P 到焦点的距离是 10,则 P 点的坐标为_ 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 (6,9)或(6,9) 解析 设点 P(x0,y0),由抛物线方程 x24y, 知焦点坐标为(0,1),准线方程为 y1, 由抛物线的定义,得|PF|y0110, 所以 y09,代入抛物线方程得 x06. (2)已知抛物线 C:y28
6、x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 M,点 P 在抛物线上,且 |PM|PF|,则PMF 的面积为( ) 2 A4B8C16D32 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 B 解析 如图所示,可得 F(2,0), 过点 P 作 PNl,垂足为 N. |PM|PF|,|PF|PN|, 2 |PM|PN|, 2 |PN|MN|. 设 P,则|t| 2, ( t2 8 ,t) t2 8 解得 t4, PMF 的面积为 |t|MF| 448. 1 2 1 2 类型二 求抛物线的标准方程 例 2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点(3,2); (2)焦点在直线 x2
7、y40 上 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)设抛物线的标准方程为 y22px 或 x22py(p0), 又点(3,2)在抛物线上,2p 或 2p , 4 3 9 2 所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y. 4 3 9 2 (2)当焦点在 y 轴上时,已知方程 x2y40, 令 x0,得 y2,所求抛物线的焦点为 F1(0,2), 设抛物线的标准方程为 x22py(p0), 由 2,得 2p8, p 2 所求抛物线的标准方程为 x28y; 当焦点在 x 轴上时,已知 x2y40, 令 y0,得 x4,抛物线的焦点为 F2(4,0), 设抛物线的标准方程为 y22
8、px(p0), 由 4,得 2p16, p 2 所求抛物线的标准方程为 y216x. 综上,所求抛物线的标准方程为 x28y 或 y216x. 反思与感悟 抛物线标准方程的求法 (1)定义法:建立适当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化 简,根据定义求出 p,最后写出标准方程 (2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴 上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定 p 的值 跟踪训练 2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程 (1)已知抛物线的准线方程是 x ; 3 2 (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y3 与抛物线交
9、于点 A,|AF|5. 解 (1)设抛物线的标准方程为 y22px(p0) 其准线方程为 x ,由题意有 ,故 p3. 3 2 p 2 3 2 因此标准方程为 y26x. (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0),A(m,3),由抛物线定义得 5|AF|. |m p 2| 又(3)22pm,p1 或 p9, 故所求抛物线的标准方程为 y22x 或 y218x. 类型三 抛物线的实际应用问题 例 3 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶 5m 时,水面宽为 8m,一小船宽 4m,高 2m,载货后船露出水面上的部分高 0.75m,问:水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米 时
10、,小船开始不能通航? 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴,建立平面直角坐 标系设抛物线方程为 x22py(p0),由题意可知,点 B(4,5)在抛物线上,故 p , 8 5 得 x2y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA,则 16 5 A(2,yA),由 22yA,得 yA .又知船面露出水面上的部分高为 0.75m,所以 16 5 5 4 h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2m 时,小船开始不能通 航 反思与感悟 涉及拱桥,隧道的问题,通常需建立适当的平面直角
11、坐标系,利用抛物线的 标准方程进行求解 跟踪训练 3 如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 OP1m,水从喷头 P 喷出后呈 抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面 2m,P 距抛物线的对称轴 1m,则水 池的直径至少应设计多长?(精确到 1m) 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 解 如图所示,以抛物线状喷泉的最高点为原点,以过原点且平行于水面的直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为 x22py(p0) 依题意有 P(1,1)在此抛物线上,代入得 p ,故抛物线方程为 x2y. 1 2 又 B 在抛物线上,将 B(x,2)代入抛物线方程得 x, 2 即|AB
12、|,则|OB|OA|AB|1, 22 因此水池的直径为 2(1)m,约为 5 m, 2 即水池的直径至少应设计为 5 m. 1抛物线 y2x 的准线方程为( ) Ax Bx Cy Dy 1 4 1 4 1 4 1 4 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的准线方程 答案 B 解析 抛物线 y2x 的开口向右,且 p ,所以准线方程为 x . 1 2 1 4 2以 F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( ) Ax4y2By4x2Cx24yDy24x 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 答案 D 解析 抛物线焦点为 F(1,0), 可设抛物线方程为 y22px(p0),
13、且 1,则 p2,抛物线方程为 y24x. p 2 3已知抛物线 x24y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为 2,则点 M 的纵坐标是( ) A0B. C1D2 1 2 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 设 M(xM,yM),根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为 y1,根据 抛物线定义,得 yM12,解得 yM1. 4一动圆过点(0,1)且与定直线 l 相切,圆心在抛物线 x24y 上,则 l 的方程为( ) Ax1BxCy1Dy 1 16 1 16 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 因为动圆过点(0,1)且与定
14、直线 l 相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线 l 的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线 x24y 上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以 l 为抛物 线的准线,所以 l:y1. 5动点 P 到直线 x40 的距离比它到点 M(2,0)的距离大 2,则点 P 的轨迹方程是 _ 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 y28x 解析 由题意可知,动点 P 到直线 x20 的距离与它到点 M(2,0)的距离相等,利用抛物 线定义求出方程为 y28x. 1焦点在 x 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 y2mx(m0),此时焦点为 F, ( m 4,0) 准线方程为 x ;焦
15、点在 y 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 x2my(m0),此时 m 4 焦点为 F,准线方程为 y . (0, m 4) m 4 2设 M 是抛物线上一点,焦点为 F,则线段 MF 叫作抛物线的焦半径若 M(x0,y0)在抛 物线 y22px(p0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离 可以相互转化,所以焦半径|MF|x0 . p 2 3对于抛物线上的点,利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离,也可以把其 到准线的距离转化为到焦点的距离,因此可以解决有关距离的最值问题 一、选择题 1对抛物线 y4x2,下列描述正确的是( ) A开口向上,焦点坐标为(0,1) B开口向上,焦点坐标为( 0, 1 16) C开口向右,焦点坐标为(1,0) D开口向右,焦点坐标为( 0, 1 16) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 B 解析 由 y4x2,得 x2 y,所以开口向上,焦点坐标为. 1 4