《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §2 2.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §2 2.1 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 抛物线抛物线 21 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3. 明确抛物线标准方程中参数 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题 知识点一 抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线点 F 叫 作抛物线的焦点，这条定直线 l 叫作抛物线的准线 (2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F(抛物线的焦点)； 一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等 于 11
2、) 知识点二 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点？ 答案 (1)是关于 x，y 的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可 以确定一次项的取值范围(2)p 的几何意义是焦点到准线的距离 梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式： y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0) 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下： 标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 图形 焦点坐标 ( p 2，0) ( p 2，0) (0， p 2) (0
3、， p 2) 准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 p 的几何 意义 焦点到准线的距离 1抛物线的方程都是二次函数() 2抛物线的焦点到准线的距离是 p.() 3抛物线的开口方向由一次项确定() 类型一 抛物线定义及应用 例 1 (1)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF| x0，则 x0等于( ) 5 4 A1B2C4D8 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 A 解析 由题意，知抛物线的准线为 x . 1 4 因为|AF| x0，根据抛物线的定义，得 5 4 x0 |AF| x0，所以 x01，故选 A. 1 4 5
4、 4 (2)若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是( ) Ay216xBy232x Cy216xDy232 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 点 P 到点(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1， 将直线 x50 右移 1 个单位， 得直线 x40，即 x4， 点 P 到直线 x4 的距离等于它到点(4,0)的距离 根据抛物线的定义，可知 P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线 x4 为准线的抛物线 设抛物线方程为 y22px(p0)，可得 4，得 2p16， p 2 抛物线的标准方程为 y216x， 即
5、 P 点的轨迹方程为 y216x，故选 C. 反思与感悟 抛物线的判断方法 (1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距 离 (2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程 跟踪训练 1 (1)抛物线 x24y 上的点 P 到焦点的距离是 10，则 P 点的坐标为_ 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 (6,9)或(6,9) 解析 设点 P(x0，y0)，由抛物线方程 x24y， 知焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y1， 由抛物线的定义，得|PF|y0110， 所以 y09，代入抛物线方程得 x06. (2)已知抛物线 C：y28
6、x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 M，点 P 在抛物线上，且 |PM|PF|，则PMF 的面积为( ) 2 A4B8C16D32 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 B 解析 如图所示，可得 F(2,0)， 过点 P 作 PNl，垂足为 N. |PM|PF|，|PF|PN|， 2 |PM|PN|， 2 |PN|MN|. 设 P，则|t| 2， ( t2 8 ，t) t2 8 解得 t4， PMF 的面积为 |t|MF| 448. 1 2 1 2 类型二 求抛物线的标准方程 例 2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点(3,2)； (2)焦点在直线 x2
7、y40 上 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)设抛物线的标准方程为 y22px 或 x22py(p0)， 又点(3,2)在抛物线上，2p 或 2p ， 4 3 9 2 所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y. 4 3 9 2 (2)当焦点在 y 轴上时，已知方程 x2y40， 令 x0，得 y2，所求抛物线的焦点为 F1(0，2)， 设抛物线的标准方程为 x22py(p0)， 由 2，得 2p8， p 2 所求抛物线的标准方程为 x28y； 当焦点在 x 轴上时，已知 x2y40， 令 y0，得 x4，抛物线的焦点为 F2(4,0)， 设抛物线的标准方程为 y22
8、px(p0)， 由 4，得 2p16， p 2 所求抛物线的标准方程为 y216x. 综上，所求抛物线的标准方程为 x28y 或 y216x. 反思与感悟 抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化 简，根据定义求出 p，最后写出标准方程 (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴 上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p 的值 跟踪训练 2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程 (1)已知抛物线的准线方程是 x ； 3 2 (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交
9、于点 A，|AF|5. 解 (1)设抛物线的标准方程为 y22px(p0) 其准线方程为 x ，由题意有 ，故 p3. 3 2 p 2 3 2 因此标准方程为 y26x. (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得 5|AF|. |m p 2| 又(3)22pm，p1 或 p9， 故所求抛物线的标准方程为 y22x 或 y218x. 类型三 抛物线的实际应用问题 例 3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5m 时，水面宽为 8m，一小船宽 4m，高 2m，载货后船露出水面上的部分高 0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米 时
10、，小船开始不能通航？ 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐 标系设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上，故 p ， 8 5 得 x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 16 5 A(2，yA)，由 22yA，得 yA .又知船面露出水面上的部分高为 0.75m，所以 16 5 5 4 h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2m 时，小船开始不能通 航 反思与感悟 涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角
11、坐标系，利用抛物线的 标准方程进行求解 跟踪训练 3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 OP1m，水从喷头 P 喷出后呈 抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2m，P 距抛物线的对称轴 1m，则水 池的直径至少应设计多长？(精确到 1m) 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 解 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为 x22py(p0) 依题意有 P(1，1)在此抛物线上，代入得 p ，故抛物线方程为 x2y. 1 2 又 B 在抛物线上，将 B(x，2)代入抛物线方程得 x， 2 即|AB
12、|，则|OB|OA|AB|1， 22 因此水池的直径为 2(1)m，约为 5 m， 2 即水池的直径至少应设计为 5 m. 1抛物线 y2x 的准线方程为( ) Ax Bx Cy Dy 1 4 1 4 1 4 1 4 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的准线方程 答案 B 解析 抛物线 y2x 的开口向右，且 p ，所以准线方程为 x . 1 2 1 4 2以 F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( ) Ax4y2By4x2Cx24yDy24x 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 答案 D 解析 抛物线焦点为 F(1,0)， 可设抛物线方程为 y22px(p0)，
13、且 1，则 p2，抛物线方程为 y24x. p 2 3已知抛物线 x24y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为 2，则点 M 的纵坐标是( ) A0B. C1D2 1 2 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 设 M(xM，yM)，根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y1，根据 抛物线定义，得 yM12，解得 yM1. 4一动圆过点(0,1)且与定直线 l 相切，圆心在抛物线 x24y 上，则 l 的方程为( ) Ax1BxCy1Dy 1 16 1 16 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C 解析 因为动圆过点(0,1)且与定
14、直线 l 相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线 l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线 x24y 上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以 l 为抛物 线的准线，所以 l：y1. 5动点 P 到直线 x40 的距离比它到点 M(2,0)的距离大 2，则点 P 的轨迹方程是 _ 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 y28x 解析 由题意可知，动点 P 到直线 x20 的距离与它到点 M(2,0)的距离相等，利用抛物 线定义求出方程为 y28x. 1焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2mx(m0)，此时焦点为 F， ( m 4，0) 准线方程为 x ；焦
15、点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x2my(m0)，此时 m 4 焦点为 F，准线方程为 y . (0， m 4) m 4 2设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫作抛物线的焦半径若 M(x0，y0)在抛 物线 y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离 可以相互转化，所以焦半径|MF|x0 . p 2 3对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其 到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题 一、选择题 1对抛物线 y4x2，下列描述正确的是( ) A开口向上，焦点坐标为(0,1) B开口向上，焦点坐标为( 0， 1 16) C开口向右，焦点坐标为(1,0) D开口向右，焦点坐标为( 0， 1 16) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 B 解析 由 y4x2，得 x2 y，所以开口向上，焦点坐标为. 1 4
