《2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 2.5.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 2.5.1 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课时过关能力提升基础巩固1在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,且(a+b)2=(a-b)2,则平行四边形ABCD是()A.菱形B.矩形C.正方形D.以上都不对解析:(a+b)2=(a-b)2,(a+b)2-(a-b)2=0,(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b)=0,4ab=0,ab,ABAD,平行四边形ABCD是矩形.答案:B2在ABC中,C=90,AB=(k,1),AC=(2,3),则k的值是()A.5B.-5C.32D.-32解析:由题意,得BC=AC-AB=(2,3)-(k,1)=(2-k,2).C=90,ACBC,AC
2、BC=0.2(2-k)+32=0.k=5.答案:A3在ABC中,若(CA+CB)(CA-CB)=0,则ABC为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.形状无法确定解析:(CA+CB)(CA-CB)=0,CA2-CB2=0,CA2=CB2.CA=CB,ABC为等腰三角形.答案:C4在四边形ABCD中,若AB+CD=0,ACBD=0,则四边形为()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析:AB+CD=0,AB=DC,四边形ABCD是平行四边形.又ACBD=0,ACBD.该平行四边形是菱形.答案:D5点O是ABC所在平面内的一点,满足OAOB=OBOC=OCOA,则点O是ABC的()A
3、.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点解析:由OAOB=OBOC,得OAOB-OBOC=0,OB(OA-OC)=0,即OBCA=0.OBCA.同理可证OACB,OCAB.OBCA,OACB,OCAB,即点O是ABC的三条高线的交点.答案:D6在四边形ABCD中,若ABAD=0,AB=DC,则四边形ABCD一定是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:AB=DC,ABDC,且AB=DC,四边形ABCD是平行四边形.又ABAD=0,ABAD,即ABAD,四边形ABCD是矩形.答案:C7过点A(1,2),且平行于向量n=(2,1)的直线方程为(
4、)A.x-2y-3=0B.x-2y+3=0C.2x-y+3=0D.以上都不正确解析:设直线上一点P(x,y),则AP=(x-1,y-2).APn,2(y-2)-(x-1)=0,即x-2y+3=0.答案:B8在ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且ABAC=8,则这个三角形的形状是.答案:等边三角形9ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,AO=12(AB+AC),且|OA|=|AB|,求BABC的值.解设BC的中点是D,如图,则AB+AC=2AD,则AD=AO,所以O和D重合,所以BC是圆O的直径,所以BAC=90.又|OA|=|AB|,则|BA|=1,|BC|=2,所以ABC=60,所以BAB
5、C=|BA|BC|cos60=1212=1.10在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量法证明四边形AECF也是平行四边形.分析转化为证明AEFC,且AE=FC,即只需证明AE=FC即可.证明AE=AB+BE,FC=FD+DC,又AB=DC,BE=FD,AE=FC,即AE,FC平行且相等.四边形AECF是平行四边形.能力提升1如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若ABAF=2,则AEBF的值是()A.2B.2C.-2D.-2解析:由ABAF=2,得AB(AD+DF)=2,即ABAD+ABDF=2,
6、又ABAD,ABAD=0,ABDF=2,故AEBF=(AB+BE)(BC+CF)=ABBC+ABCF+BEBC+BECF=0+AB(DF-DC)+12|BC|2+0=ABDF-ABDC+2=2-|AB|2+2=2-2+2=2.答案:B2已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=3,则OAOB=()A.3B.1C.12D.-12解析:如图,AB=3,取D为AB的中点,又OA=1,AOD=3.AOB=23.OAOB=11cos23=-12.答案:D3在RtABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|PA|2+|PB|2|PC|2=()A.2B.4C.5
7、D.10解析:将ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则|PA|2+|PB|2|PC|2=PA2+PB2PC2=(PC+CA)2+(PC+CB)2PC2=2PC2+2PCCA+2PCCB+CA2+CB2PC2=2|PC|2+2PC(CA+CB)+AB2|PC|2=|AB|2|PC|2-6=42-6=10.答案:D4已知在ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,则点D的坐标为.解析:设点D的坐标为(x,y),则BC=(-3,-1)-(3,2)=(-6,-3),AD=(x,y)-(2,-1)=(x-2,y+1),BD=(x,y)-(3,2)=(x-3,y-
8、2).由ADBC,BDBC,得-6(x-2)-3(y+1)=0,-6(y-2)-(-3)(x-3)=0,整理得2x+y=3,x-2y=-1,解得x=1,y=1,点D的坐标为(1,1).答案:(1,1)5已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(AP+BD)(PB+PD)的最大值为.解析:如图,设AP=xAC,AB=a,AD=b,则ab=0,BD=b-a,AP=xAC=x(a+b),其中x0,1,所以PB=AB-AP=a-x(a+b)=(1-x)a-xb,PD=AD-AP=b-x(a+b)=-xa+(1-x)b,所以(AP+BD)(PB+PD)=x(a+b)+b-a(1-x)a-
9、xb-xa+(1-x)b=(x-1)a+(x+1)b(1-2x)a+(1-2x)b=-16x2+8x=-16x-142+1,由于x0,1,则-16x-142+1的最大值为1.答案:16在ABC中,C=90,D是AB的中点,用向量法证明CD=12AB.分析找一组基底,分别表示CD和AB,转化为证明|CD|=12|AB|.证明如图,设CA=a,CB=b,则a与b的夹角为90,ab=0.又AB=b-a,CD=12(a+b),|CD|=12|a+b|=12(a+b)2=12|a|2+2ab+|b|2=12|a|2+|b|2,|AB|=|b-a|=(b-a)2=|b|2-2ab+|a|2=|a|2+|b
10、|2.|CD|=12|AB|,CD=12AB.7在ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形.分析以AB和AD为基底,转化为证明ABAD.证明设AB=a,AD=b,由于四边形ABCD是平行四边形,AC=AB+AD=a+b,BD=AD-AB=b-a.AC=BD,|a+b|=|b-a|.|a+b|2=|b-a|2.|a|2+2ab+|b|2=|b|2-2ab+|a|2,ab=0.ab,即ABAD.ABAD.故四边形ABCD是矩形.8用向量的方法证明:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.证明如图,作向量AB,AD,AC,DB,选AB=a,AD=b作为基底,由菱形性质得|a|=|b|.于是,由平行四边形法则得AC=a+b,DB=a-b,则ACDB=(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,ACDB,即ACDB,得菱形两条对角线互相垂直.设DAC=1,BAC=2,由向量数量积的定义得cos1=ADAC|AD|AC|=b(a+b)|b|a+b|=ba+|b|2|b|a+b|,cos2=ABAC|AB|AC|=a(a+b)|a|a+b|=|a|2+ab|a|a+b|.|a|=|b|,ab=ba,cos1=cos2.01180,02180,1=2,即AC平分DAB,同理可证AC平分BCD,BD平分ADC,ABC,即菱形每一条对角线平分一组对角.
