《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 双曲线的简单几何性质 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1.双曲线 2 9 2 16 = 1的渐近线方程为( ) A.y= 4 3. = 3 4 C.y= 16 9 . = 9 16 解析:双曲线方程为 2 9 2 16 = 1, 则y= 令 2 9 2 16 = 0,得渐近线方程为 3 4. 答案:B 2.若双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( ) A. 1 4. 4.4. 1 4 解析:mx2+y2=1 是双曲线, m0,16-k0, 对于双曲8,虚轴长 线 2 16 2 5 - = 1,实轴长为 ,故选 D. 为2 5 - ,焦距为2 16
2、 + 5 - = 2 21 - ;对于双曲线 2 16 - 2 5 = 1,实轴长为2 16 - ,虚轴长为2 5,焦距为2 16 - + 5 = 2 21 - ,因此两双曲线的焦距相等 答案:D 4.已知双曲 线 2 2 2 2 = 1( 0)的左、右焦点分别为1,2,其一条渐近线方程为 = ,点( 3,0)在该双曲线上,则 12等于( ) A.-12B.-4C.0D.4 解析:由渐近线方程为 y=x,知双曲线是等轴双曲线,则双曲线方程是 x2-y2=2,于是两个焦点坐标分别 是(-2,0)和(2,0),y0=1,即点 P 的坐标P 是( 3,1)或( 3, 1).取 ( 3,1),则 1=
3、 ( 2 3, 1),2= (2 3, 1). 故 12= 1 + 1 = 0. 取 P,C. ( 3, 1)时解得12= 0.故选 答案:C 5.若双曲线 2 6 2 3 = 1的渐近线与圆( 3)2 + 2 = 2( 0)相切,则等于( ) A. 3.2.3.6 解析:双曲线的渐近线方程为 y=(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切可 2 2 ,圆心坐标为 得,圆心到渐近线的距离等于 r,即 r = | 3 2 + 0| 2 + 4 = 3 2 6 =3. 答案:A 6.(2016山东高考)已知双曲线 E : 2 2 2 2 = 1( 0, 0).矩形的四个顶点在上,的中点为的两
4、个焦点,且2| = 3|,则 的离心率是 . 解析:由双曲线和矩形的对称性可知 ABx 轴,不妨设点 A 的横坐标为 c,则y= 由 2 2 2 2 = 1,解得 2 . |AB|2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率 e=2 或 e=),所 设( , 2 ),( , - 2 ),则 = 22 ,| = 2,由 1 2 (舍去 以离心率为 2. 答案:2 7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0),且焦距与虚轴长之比为 54,则双曲线的标准方 程为 . 解析:由题意得双曲线的焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之比为 54,即 cb=54,解得 c=5,b=4, 故
5、双曲线的标准方程为 2 9 2 16 = 1. 答案: 2 9 2 16 = 1 8.已知双曲 PF2,|PF1|PF2|=4ab,则 线 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的左、右焦点分别为1,2,是双曲线上一点,且1 双曲线的离心率是 . 解析:因为 PF1PF2, 所以 有 | 1| 2 + |2|2= 42, | 1|2| = 4, | 1| - |2| = 2, ? 即 4c2-4a2=8ab, 所以 b=2a,c2=5a2,即 e= 5. 答案: 5 9.求满足下列条件的双曲线方程: (1)以 2x3y=0 为渐近线,且经过点(1,2); (2)离心率为 5 4,虚半轴长为2;
6、(3)与椭圆 x2+5y2=5 共焦点,且一条渐近线方程为 y 3 = 0. 分析(1)可设所求的双曲线方程为 4x2-9y2=(0); (2)ec2=a2+b2可确定 a2,b2; = = 5 4, = 5 4, = 2,结合 (3)先求出椭圆焦点为(2,0),则 c=2.设所求双曲线方程为 3x2-y2=(0),化为标准方程形式并代 入 c=2 可求得. 解:(1)设所求双曲线方程为 4x2-9y2=(0),将点(1,2)代入方程,可得 =-32,故所求双曲线方程为 4x2- 9y2=-32,即 92 32 2 8 = 1. (2)由题意,得 b=2,e = = 5 4. 令 c=5k,a
7、=4k,其中 kR,且 k0, 由 b2=c2-a2=9k2=4,得 k2 = 4 9. 则 a2=16k2 = 64 9 ,故所求的双曲线方程为9 2 64 2 4 = 1或 92 64 2 4 = 1. (3)由已知得椭圆 x2+5y2=5 的焦点为(2,0), 又双曲线的一条渐近线方程为 y 3 = 0, 则另一条渐近线方程为 y+ 3 = 0. 设所求双曲线方程为 3x2-y2=(0), 则 a2 = 3,2 = . c2=a2+b2=3. = 4 3 = 4,即 故所求的双曲线方程为 x2 2 3 = 1. 10.已知焦点在 x 轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为 3,焦距为12,
8、求此双曲线的方程及离心率. 解:由已知可设双曲线的方程为 2 2 2 2 = 1( 0, 0), 所以两条渐近线为 y= . 因为两条渐近线的夹角, 为 3,故分两种情况 即 y = 的倾斜角为 6或 3. 当 y = 的倾斜角为 6时, = 6 = 3 3 , 所a2=3b2. 以 2 2 = 1 3 ,即 又因为 2c=12,所以 c=6. 由 c2=a2+b2,得 b2=9,a2=27. 所以双曲线方程为 2 27 2 9 = 1, 则 e = = 6 3 3 = 2 3 3. 当 y = 的倾斜角为 3时, = 3 =3, 所以 b2=3a2. 又因为 2c=12,所以 c=6. 由
9、c2=a2+b2,得 a2=9,b2=27. 所以双曲线方程e 为 2 9 2 27 = 1,则 = = 6 3 = 2. 能力提升能力提升 1.已知双曲 线 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的一条渐近线平行于直线: = 2 + 10,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为 ( ) A. 2 5 2 20 = 1. 2 20 2 5 = 1 C. 32 25 32 100 = 1.3 2 100 32 25 = 1 解析:因为双曲线焦点在 x 轴上,且其中一个焦点在直线 y=2x+10 上,所以 c=5. 又因为一条渐近线与 l 平行, 所a2=5,b2=20, 以 = 2,可解得 故
10、双曲线方程A. 为 2 5 2 20 = 1,故选 答案:A 2.已知 P 是双曲 线 2 9 2 16 = 1右支上的一点,分别是圆( + 5)2 + 2 = 4和( 5)2 + 2 = 1上的点,则| |的最大值为 ( ) A.6B.7C.8D.9 解析:由题知双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0),F2(5,0),这两点正好是两圆的圆心,当且仅当 P,M,F1三 点共线以及 P,N,F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=9. 答案:D 3.已知双曲 线 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的一条渐近线方程是 =3,它的一个焦点为(4
11、,0),则双曲线的方程为 . 解析:由条件知双曲线的右焦点为(4,0), 所a2=4,b2=12, 以 2+ 2= 16, = 3, ? 解得 故双曲线方程为 2 4 2 12 = 1. 答案: 2 4 2 12 = 1 4.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的一个焦点,过点 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的 中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 . 解析:设双曲线的标准方程为 2 2 2 2 = 1( 0, 0), 由题意知 c=3,a2+b2=9. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 有 2 1 2 - 2 1 2 = 1, 2
12、2 2 - 2 2 2 = 1, ? 两式作差 得 1 - 2 1 - 2 = 2 ( 1+ 2) 2 ( 1+ 2) = - 122 - 152 = 42 52. 又因为直线 AB 的斜率是 - 15 - 0 - 12 - 3 = 1, 所以 4b2=5a2,代入 a2+b2=9,得 a2=4,b2=5, 所以双曲线的标准方程是 2 4 2 5 = 1. 答案: 2 4 2 5 = 1 5.已知双曲 线 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的左、右焦点分别为1( ,0),2(,0).若双曲线上存在一点,使 12 21 = ,则该双曲线的离心率的取值范围是 . 解析:由题意知|PF1| = |
13、2|. 由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a, |PF2| 则 |2| |2| = 2,即 = 22 - . 由双曲线的几何性质,知|PF2|c-a, c2-2ac-a2 ,即 所以 e2-2e-1 0, 0),则其渐近线方程为 ,即 = 3,则双曲线方程可化为 2 2 2 92 = 1. 双曲线过点 P(3,-1), 9 2 1 92 = 1, a2 = 80 9 ,2 = 80. 所求双曲线的方程 为 2 80 9 2 80 = 1. 当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程y= 为 2 2 2 2 = 1( 0, 0),则其渐近线方程为 ,即 = 3,则双曲线方程可化为 2 92 2 2 = 1. 双曲线过点 P(3,-1), . 1 92 9 2 = 1,得 80 92 = 1,此时方程无解 综上可知所求的双曲线方程 为 2 80 9 2 80 = 1. 7.设 F1,F2分别为双曲
