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1、数学实验报告实验序号：8 日期：6/5班级信科姓名学号实验名称概率与频率问题背景描述：概率，又称为几率、或然率，是反映某种事件发生的可能性大小的一种数量指标。它介于0和1之间。这里的事件是指随机现象中出现的某个可能结果。实验目的：概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，它有着悠久的历史。通过本实验的学习，加深对频率和概率等概念的理解和认识，并帮助掌握一些概率统计的原理。实验原理与数学模型：相关函数（命令）简介1rand(m,n):生成 mn的随机矩阵,每个元素都在(0,1)间,生成方式为均匀分布 2randn(m,n): 生成mn的随机矩阵,每个元素都在(0,1)间,生成方式为正态分布
2、 3. randperm(m)：生成一个 1n的随机整数排列。 4perms(1:n)：生成1到n的全排列，共n！个。 5一系列取整的函数： (1) fix(x)：截尾法取整； (2) floor(x)：退一法取整(不超过 x 的最大整数)； (3) ceil(x)：进一法取整(=floor(x)+1)； (4) round(x)：四舍五入法取整。 6unique(a)：合并a中相同的项。 7switch 表达式 case 情况1 命令系列1 case 情况2 命令系列2 otherwise 命令系列 end 8prod(x)：向量 x 的所有分量元素的积。9.unidrnd(n)生成一个1到
3、n的随机整数。实验所用软件及版本：Matlab 2009主要内容（要点）：1通过实验，填写完成表格26的数据3用Monte Carlo方法求两平面曲线y=x2x0与y=1-x2及y轴所围成的区域的面积。试分析程序甲和程序乙的不同之处。试问：哪一个程序是对的？为什么？4分析附录中的程序丙和程序丁的设计本意。请问他们为什么都是错误的？5设计一个三维投点的蒙特卡罗法计算。并比较运行结果与二维投点的蒙特卡罗法的运行结果，哪个更准确些。提示：随机投点落在单位正方体的内切球体内部。实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：1通过实验，填写完成表格26的数据实验1：随机投掷均匀骰子，验证各点
4、数出现的概率是否为1/6表2试验次数/n100001000010000100001000010000国徽朝上频率0.49680.50780.49360.49990.50070.5004国徽朝下频率0.50310.49780.49910.49430.50170.5019实验2：随机投掷均匀骰子，验证各点数出现的概率是否为1/6表3试验次数n1000010000100001000010000出现一点频率0.17150.16750.17040.1660.1683出现二点频率0.16610.16280.16170.16480.1673出现三点频率0.16290.16560.16850.16760.17
5、48出现四点频率0.17230.16290.16380.1660.1616出现五点频率0.1610.170.16760.16580.1634出现六点频率0.16620.17120.1680.16980.1646实验3：利用蒙特卡罗（monte carlo）投点法计算。表4试验次数n100000100000100000100000100000100000所得的近似值3.13843.14523.13823.13853.14223.1321实验4：蒲丰（buffon）投针实验表5试验次数n100000100000100000100000100000针长l/平行线间距d0.50.50.50.50.5相
6、交频率0.31760.31960.31690.31660.3191相交概率的理论值3.14153.14153.14153.14153.1415的近似值3.14853.12873.15603.15863.1335实验5：生日问题，设某班有m个学生，则该班至少有两人同一天生日的概率为多少？ 表6试验次数n10001000100010001000班级人数m5050505050至少有两人生日相同的频率0.96900.97400.97600.96500.9600至少有两人生日相同的概率的理论值0.97040.97040.97040.97040.97043用Monte Carlo方法求两平面曲线y=x2x
7、0与y=1-x2及y轴所围成的区域的面积。试分析程序甲和程序乙的不同之处。试问：哪一个程序是对的？为什么？程序甲 结果 程序乙 结果从实验结果我们可以看出程序乙 的误差要小很多，所以我们有理由认为程序乙正确，另一方面，分析程序甲和程序乙的不同之处：（1）程序甲没有分别用变量x和y事先定义rand(1)*a和rand(1)*b （2）程序甲的if条件句：rand(1)*b=(rand(1)*a)2&rand(1)*b1-(rand(1)*a)2程序乙的if条件句：yx2 即：rand(1)*b(rand(1)*a)2可以看出程序甲和程序乙的取等情况及不等式的顺序不同，不过很显然，这两种逻辑并不影
8、响实验结果。经过分析程序甲和程序乙的不同之处我们可以认为，由于程序甲没有用变量x和y事先定义rand(1)*a和rand(1)*b而引起甲乙两结果不同，所以MonteCarlo投点法在使用过程中应事先定义，再进行if语句的运行。4分析附录中的程序丙和程序丁的设计本意。请问他们为什么都是错误的？程序丙 结果 程序丁 结果通过分析对比程序丙和程序丁与程序乙的区别，我们可以看出：程序丙的a的赋值是错误的，曲线y=x2x0与y=1-x2的交点横坐标为22，纵坐标为1，所以在对初始值a,b赋值时应分别赋为a=22,b=1程序丁不仅没有事先定义rand(1)*a和rand(1)*b，而且程序丁的if条件句
9、rand(1)=rand(1)2也是错误的，rand(1)没有乘以a或b，使得结果偏小很多。5设计一个三维投点的蒙特卡罗法计算。并比较运行结果与二维投点的蒙特卡罗法的运行结果，哪个更准确些。提示：随机投点落在单位正方体的内切球体内部。试验次数n100000100000100000100000100000100000（二维）所得的近似值3.13843.14523.13823.13853.14223.1321（三维）所得的近似值3.14833.12673.13983.12953.14523.1216 通过对比二维与三维投点的蒙特卡罗法的运行结果可以发现，二维投点的蒙特卡罗法的运行结果更加准确。实验结果报告与实验总结： 通过本实验加深了我们对频率和概率等概念的理解和认识，而且我们可以体会到运用经典的蒙特卡罗投点法可以近似求解无理数或是不规则曲面面积等，从频率与概率的角度来解决数学问题也是一个很好的思路。思考与深入： 本次实验通过计算机模拟验证了实验次数无限大情况下，频率近似等于概率的统计学结论，而且运用蒙特卡罗投点法近似求解了无理数和不规则曲面面积。通过问题3、4我们因该注意到在使用蒙特卡罗投点法时应事先定义变量，再运行if条件句。教师评语：
