《2018秋新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 1.2.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 1.2.2 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.2 组合 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1.的值为( ) 2 6+ 5 7 A.72B.36C.30D.42 解析:=15+21=36. 2 6+ 5 7= 6 5 2 1 + 7 6 2 1 答案:B 2.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外 商不同的投资方案共有( ) A.16 种B.36 种C.42 种D.60 种 解析:若选择了 2 个城市,则有=36 种投资方案;若选择了 3 个城市,则有=24 种投资方案, 2 4 2 3 2 2 3 4 3 3 因此共有 36+24=60 种投资方案. 答案:D 3.某高
2、校外语系有 8 名志愿者,其中有 5 名男生,3 名女生,现从中选 3 人参加某项测试赛的翻译工作, 若要求这 3 人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( ) A.45 种B.56 种C.90 种D.120 种 解析:用排除法,不同的选法种数为=45. 3 8 3 5 3 3 答案:A 4.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由 7 种不同的氨基酸构成,若只改变其 中 3 种氨基酸的位置,其他 4 种不变,则不同的改变方法的种数为( ) A.210B.126C.70D.35 解析:从 7 种中取出 3 种有=35 种取法,比如选出 a,b,c 3 种,再都改变位置有 b,c
3、,a 和 c,a,b 两种改变 3 7 方法,故不同的改变方法有 235=70 种. 答案:C 5.在某次数学测验中,学号 i(i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩 f(i)90,92,93,96,98,且满足 f(1)f(2) f(3)f(4),则这四位同学的考试成绩的所有可能的情况为( ) A.9 种B.5 种C.23 种D.15 种 答案:D 6.某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的有 8 种,1 元 1 本的有 3 种.小张用 10 元钱买杂志(每种至多买 1 本, 10 元钱刚好用完),则不同买法的种数为 .(用数字作答) 解析:由已知分两类情况: (1)买 5 本 2 元的
4、买法种数为 5 8. (2)买 4 本 2 元的、2 本 1 元的买法种数为 4 8 2 3. 故不同的买法种数为=266. 5 8+ 4 8 2 3 答案:266 7.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 .(用数字作答) 解析:若不选 0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为=72.若选 0,则可组成没有重复数字 2 3 2 2 4 4 的四位数的个数为=108.则共可组成没有重复数字的四位数的个数为 108+72=180. 1 2 2 3 1 3 3 3 答案:180 8.从 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公
5、益活动.若每天安排 3 人,则不同的安排方 案共有 种.(用数字作答) 解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140 种. 3 7 3 4 3 7 3 4 答案:140 9.用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四 位数共有 个.(用数字作答) 解析:分两种情况: 第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90 个. 1 3 3 3+ 2 3 3 3 1 4 第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234 个,共有 2 3 3 3 1 4+ 1 3 2 3 3 3 1 3 90+
6、234=324 个. 答案:324 10.8 人排成一排,其中甲、乙、丙 3 人中有 2 人相邻,问这 3 人不同时排在一起的排法有多少种? 解:先排甲、乙、丙以外的 5 人有种排法;再从甲、乙、丙 3 人中选 2 人排在一起并插入已排好的 5 5 5 人的 6 个间隔中有种排法,余下的 1 人可以插入另外 5 个间隔中有种排法,由分步乘法计数 1 6 2 3 1 5 原理知,共有=21 600 种排法. 5 5 1 6 2 3 1 5 11.(1)求证:+2; + 2= - 1 + - 2 (2)解:方程:3=5 - 7 - 3 2 - 4. (1)证明由组合数的性质可知,右边=()+()=
7、 + 1= + - 1 + - 1 - 1 + - 2 =左边. + 1+ - 1 + 1= + 2 右边=左边,所以原式成立. (2)解:原式可变形为 3=5, 4 - 3 2 - 4 即=5(x-4)(x-5), 3( - 3)( - 4)( - 5)( - 6) 4 3 2 1 所以(x-3)(x-6)=542=85. 所以 x=11 或 x=-2(舍去负根). 经检验,x=11 符合题意,所以方程的解为 x=11. 能力提升能力提升 15.个不同的球放入 4 个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入 A 盒,则不同的放 法种数是( ) A.120B.72C.60D.36
8、解析:将甲球放入 A 盒后分两类:一类是除甲球外,A 盒还放其他球,共=24 种放法;另一类是 A 盒中 4 4 只有甲球,则其他 4 个球放入另外三个盒中,有=36 种放法.故总的放法有 24+36=60 种. 2 4 3 3 答案:C 2.某科技小组有 6 名学生,现从中选出 3 人去参加展览,至少有 1 名女生入选的不同选法有 16 种,则 该小组中的女生人数为( ) A.2B.3C.4D.5 解析:设男生有 x 人,则女生有(6-x)人. 依题意得=16, 3 6 3 即 x(x-1)(x-2)+166=654. 解得 x=4,故女生有 2 人. 答案:A 3.已知一组曲线 y= ax
9、3+bx+1,其中 a 为 2,4,6,8 中的任意一个,b 为 1,3,5,7 中的任意一个.现从这些曲 1 3 线中任取两条,它们在 x=1 处的切线相互平行的组数为( ) A.9B.10C.12D.14 解析:y=ax2+b,曲线在 x=1 处切线的斜率 k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在 x=1 处切线的斜率的可能取值可分为五类完成. 第一类:a+b=5,则 a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有组. 2 2 第二类:a+b=7,则 a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组. 2 3 第三类:a+b=9,则 a=2,b=7
10、;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组. 2 4 第四类:a+b=11,则 a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有组. 2 3 第五类:a+b=13,则 a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有组. 2 2 故共有=14 组曲线,它们在 x=1 处的切线相互平行. 2 2+ 2 3+ 2 4+ 2 3+ 2 2 答案:D 4.考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个 点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) ABCD . 4 225 . 2 225
11、 . 2 75 . 4 75 解析:甲、乙各能连成=15 条直线,如图,其中有 6 对平行线,所求概率 P=故选 D. 2 6 12 1 15 15 = 4 75. 答案:D 5.如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点 O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,nN*),记可能 的爬行方法总数为 f(m,n),则 f(m,n)= . 解析:从原点 O 出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为 1,向右为 0,则爬到点(m,n)需 m 个 0 和 n 个 1.这样爬行方法总数 f(m,n)是 m 个 0 和 n 个 1 的不同排列方法数.m 个 0 和 n 个 1 共占(m+n)个位置,
12、 只要从中选取 m 个放 0 即可.故 f(m,n)= + . 答案: + 6.如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝, 接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝, 第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的 2 个螺丝.则不同的固定方式有 种.(用数字作答) 答案:2 880 7.在如图所示的四棱锥中,顶点为 P,从其他的顶点和各棱中点中取 3 个,使它们和点 P 在同一平面内, 则不同的取法种数为 .(用数字作答) 解析:满足要求的点的取法可
13、分为三类: 第一类,在四棱锥的每个侧面上除点 P 外任取 3 点,有 4种取法; 3 5 第二类,在两个对角面上除点 P 外任取 3 点,有 2种取法; 3 4 第三类,过点 P 的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有 4种取法. 1 2 因此,满足题意的不同取法共有 4+2+4=56 种. 3 5 3 4 1 2 答案:56 8.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同 信息.若所用数字只有 0 和 1,求与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数. 解:与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相
14、同的信息包括三类: 第一类,与信息 0110 恰有两个对应位置上的数字相同,即从 4 个位置中选 2 个位置相同,其他 2 个不同有=6 个信息. 2 4 第二类,与信息 0110 恰有一个对应位置上的数字相同,即从 4 个位置中选 1 个位置相同,其他 3 个不同有=4 个信息. 1 4 第三类,与信息 0110 没有一个对应位置上的数字相同,即 4 个位置中对应数字都不同,有=1 个 0 4 信息. 由分类加法计数原理知,与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 6+4+1=11. 9.在 6 名内科医生和 4 名外科医生中,内科主任和外科主任各 1 名,现要组成 5
15、人医疗小组送医下 乡,依下列条件各有多少种选派方法? (1)有 3 名内科医生和 2 名外科医生; (2)既有内科医生,又有外科医生; (3)至少有 1 名主任参加; (4)既有主任,又有外科医生. 解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120. 3 6 2 4 3 6 2 4 (2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去 1 人,2 人,3 人,4 人,易得 出选派方法的种数为=246. 1 6 4 4+ 2 6 3 4+ 3 6 2 4+ 4 6 1 4 若从反面考虑,则选派方法的种数为=246. 5 10 5 6 (3)分两类: 一是选 1 名主任有种方法; 1 2 4 8 二是选 2 名主任有种方法, 2 2 3 8 故至少有 1 名主任参
