《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 检测A 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 检测A （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章检测(A) (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1 已知 a,bR,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i 为纯虚数”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析(a-b)+(a+b)i 为纯虚数的充要条件是实数 a,b 满足即 a=b,且 a-b,也就是 a=b0.结合 - = 0, + 0, ? 题意知充分性不成立,必要性成立,故选 C. 答案 C 2 若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,bR,i 是虚数
2、单位),则 a,b 的值分别等于( ) A.3,-2B.3,2 C.3,-3D.-1,4 答案 A 3 若 a 为实数,且=3+i,则 a=( ) 2 + 1 + A.-4B.-3C.3D.4 答案 D 4i 是虚数单位,复数等于( ) 7 - 3 + A.2+iB.2-i C.-2+iD.-2-i 解析=2-i. 7 - 3 + = (7 - )(3 - ) (3 + )(3 - ) = 21 - 7 - 3 + 2 9 - 2 = 20 - 10 10 答案 B 5 设 i 是虚数单位,则复数 i3- =( ) 2 A.-iB.-3iC.iD.3i 答案 C 6 若 z=1+i(i 是虚数
3、单位),则 +z2等于( ) 2 A.-1-iB.-1+i C.1-iD.1+i 解析z=1+i,+z2=+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选 D. 2 2 1 + 答案 D 7 已知复数 z=1-2i,则 等于( ) 1 A.iB.i 5 5 + 2 5 5 5 5 2 5 5 C.iD.i 1 5 + 2 5 1 5 2 5 解析i. 1 = 1 1 + 2 = 1 - 2 (1 + 2)(1 - 2) = 1 - 2 1 + 22 = 1 5 2 5 答案 D 8 若 O 是原点,向量对应的复数分别为 1-2i,-4+3i,则向量对应的复数
4、是( ) , A.-5+5iB.-5-5i C.5+5iD.5-5i 解析对应的复数为 1-2i-(-4+3i)=5-5i,故选 D. 答案 D 9 已知复数 z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(aR)不是纯虚数,则有( ) A.a0B.a2 C.a0,且 a2D.a-1 解析若 z 为纯虚数,则所以 a=-1. 2 - - 2 = 0, | - 1| - 1 0, ? 又 z 不是纯虚数,所以 a-1.故选 D. 答案 D 10 已知 i 为虚数单位,a 为实数,若复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则“a ”是“点 M 1 2 在第四象限”的( ) A.充分不
5、必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数 z 在复平面内对应的点 M 的坐标为(a+2,1-2a).所以点 M 在第四象限的充要条件是 a+20,且 1-2a ,故选 C. 1 2 答案 C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11 已知 a,bR,且 a-1+2ai=4+bi,则 b= . 解析由题意,得解得 - 1 = 4, 2 = , ? = 5, = 10. ? 答案 10 12 若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单
6、位,则复数(z1-z2)i 的实部为 . 解析因为 z1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i, 所以(z1-z2)i=-20-2i,其实部为-20. 答案-20 13 已知 zC,且(1-i)z=2i(i 是虚数单位),则 z= ,|z|= . 解析由题意,得 z=-1+i. 2 1 - = 2(1 + ) (1 - )(1 + ) 所以|z|=. ( - 1)2+ 12= 2 答案-1+i 2 14 若复数 z 满足 z(1+i)=1-i(i 是虚数单位),则其共轭复数 = . 解析设 z=a+bi(a,bR),则(a+bi)(1+i)=1-i, 即 a-b+(a+b)i=1-
7、i, 则解得 - = 1, + = - 1, ? = 0, = - 1, ? 所以 z=-i.所以 =i. 答案 i 15 对于任意两个复数 z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R),定义运算“”为 z1z2=x1x2+y1y2.设非零 复数 1,2在复平面内对应的点分别为 P1,P2,点 O 为坐标原点,若 12=0,则在P1OP2中, P1OP2的大小为 . 解析设非零复数 1=a1+b1i,2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2R,且0,0),则得点 P1(a1,b1),P2(a2,b2). 2 1+ 2 1 2 2+ 2 2 由题意知 P1,P2不为原点,且
8、由 12=0, 得 a1a2+b1b2=0. 由两条直线垂直的充要条件,知直线 OP1,OP2垂直. 所以 OP1OP2,即P1OP2=90. 答案 90 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(8 分)已知复数 z=(2+i)m2-2(1-i).求实数 m 取什么值时,复数 z 是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复 6 1 - 平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数? 分析先把复数 z 化简整理为 a+bi(a,bR)的形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可. 解因为 mR, 所以复数 z=(2+i)m2-3m(1+i
9、)-2(1-i) =(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)当即 m=2 时,z 为零. 22- 3 - 2 = 0, 2- 3 + 2 = 0, ? (2)当 m2-3m+20,即 m2,且 m1 时,z 为虚数. (3)当 22- 3 - 2 = 0, 2- 3 + 2 0, ? 即 m=- 时,z 为纯虚数. 1 2 (4)当 2m2-3m-2=-(m2-3m+2), 即 m=0 或 m=2 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数. 17(8 分)设 f(z)=z-2i+|z|,若 z1=3+4i,z2=-2-i,求 f(z1-z2). 解z1-z2=3+4i-
10、(-2-i)=5+5i, 又 f(z)=z-2i+|z|, f(z1-z2)=f(5+5i) =5+5i-2i+5=5+5+3i. 22 18(9 分)设 z1,z2互为共轭复数,且(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,求 z1,z2. 解设 z1=x+yi(x,yR),则 z2=x-yi. 将 z1,z2代入(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得 (x+yi)+(x-yi)2+5(x+yi)(x-yi)i=8+15i, 即 4x2+5(x2+y2)i=8+15i. 利用复数相等的充要条件,有 42 = 8, 5(2+ 2) = 15, ? 解得 = 2, = 1 ? 或 = 2
11、, = - 1 ? 或 = - 2, = 1 ? 或 = - 2, = - 1. ? 故所求复数 z1,z2为 1=2 + , 2=2 - ? 或1 =2 - , 2=2 + ? 或1 = -2 + , 2 = - 2 - ? 或 1 = -2 - , 2 = -2 + . ? 19(10 分)复数 z 满足|z+3-i|=,求|z|的最大值和最小值. 33 解|z+3-i|=,表示以-3+i 对应的点 P 为圆心,以为半径的圆. 3333 如图所示,则|OP|=|-3+i|=2. 3123 显然|z|max=|OA|=|OP|+=3, 33 |z|min=|OB|=|OP|-. 3 =3 2
12、0(10 分)已知复数 z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且 z1+i,求复数 z1,z2的值. 1 2 = 1 2 + 3 2 分析解答本题的关键是利用复数相等的充要条件,将复数问题实数化,即从 z1+i 出发,建立 1 2 = 1 2 + 3 2 关于 , 的正弦、余弦的方程组,再结合三角函数的知识求解. 解由 z1+i,得 1 2 = 1 2 + 3 2 cos +isin +i, 1 - = 1 2 + 3 2 cos +isin +cos +isin =i, 1 2 + 3 2 即(cos +cos )+i(sin +sin )=i. 1 2 + 3 2 + = 1 2, + = 3 2 . ? = 1 2 - , = 3 2 - . ? cos2+sin2=1, ( 1 2 - )2+( 3 2 - )2 整理,得 cos =1-sin ,代入 sin 2+cos 2=1, 3 可解得 sin =0 或 sin =. 3 2 当 sin =0 时,cos =1,cos =- ,sin =. 1 2 3 2 当 sin =时,cos =- ,cos =1,sin =0. 3 2 1 2 z1=-i,z2=1 或 z1=1,z2=-i. 1 2 + 3 2 1 2 3 2
