《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.7.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.7.1 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.7 定积分的简单应用定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积 S 等于( ) A.(x-x3)dxB.(x3-x)dx 1 - 1 1 - 1 C.2(x-x3)dxD.2(x-x3)dx 1 0 0 - 1 解析如图, 阴影部分的面积 S=2(x-x3)dx.故选 C. 1 0 答案 C 2 曲线 y=cos x与坐标轴所围成的图形的面积 S 是( ) (0 3 2) A.2B.3C.D.4 5 2 解析 S=cos xdx+ 2 0 | 3 2 2 | =sin x -sin x=1
2、+2=3.故选 B. | 2 0 | 3 2 2 答案 B 3 如图,阴影部分的面积是( ) A.2 3 B.2- 3 C. 32 3 D. 35 3 解析(3-x2-2x)dx=. 1 - 3 ( 3 - 1 3 3 - 2)|1 - 3 = 32 3 故选 C. 答案 C 4 曲线 y=x2+1 与两坐标轴及直线 x=1 所围成的图形的面积 S 为( ) A.B.C.D.2 1 3 4 3 5 3 解析 S=(x2+1)dx=+1= . 1 0 ( 1 3 3+ )|1 0= 1 3 4 3 答案 B 5 直线 y=4x 与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2B.
3、4C.2D.4 22 解析由解得 x=-2 或 x=0 或 x=2,所以直线 y=4x 与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为 = 4, = 3, ? S=(4x-x3)dx=-0=4. 2 0 (2 2 - ? 1 4 4)|2 0=(2 2 2 - 1 4 24) 答案 D 6 由曲线 y=ex,直线 x=2,x=4,y=0 所围成的图形的面积 S= . 解析 S=exdx=ex=e4-e2. 4 2 |4 2 答案 e4-e2 7 设 a0,若曲线 y=与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a= . 解析由题意可得曲线 y=与直线 x=a,y=0 所围成封
4、闭图形的面积 S=dx=a2,解得 a= . 0 2 3 3 2| 0= 2 3 3 2 4 9 答案 4 9 8 求曲线 xy=1 及直线 y=x,y=3 所围成图形的面积 S. 分析画出图形;根据图形的特征,由交点坐标确定积分的上、下限;确定被积函数. 解如图,由得点 A 的坐标为(1,1). = 1, = ? 由得点 B 的坐标为. = 1, = 3 ? ( 1 3 ,3 ) 由得点 C 的坐标为(3,3). = , = 3 ? 所求面积为 S=S1+S2=dx+(3-x)dx 11 3 ( 3 - 1 )3 1 =(3x-ln x)=2-ln 3+2=4-ln 3. |1 1 3 +(
5、 3 - 1 2 2)|3 1 能力提升能力提升 1 由曲线 y=和 y=x3所围成图形的面积可用定积分表示为( ) A.dx+x3dx 1 0 1 0 B.x3dx-dx 1 0 1 0 C.dx-x3dx 1 0 1 0 D.以上都不正确 解析解方程组而当 0x1 时,x3,所以曲线 y=与 y=x3所围成图形的面积可用定积分 = , = 3, ? 得 = 0, = 0,? = 1, = 1, ? 表示为-x3)dx=dx-x3dx,故选 C. 1 0 ( 1 0 1 0 答案 C 2 求由 y=ex,x=2,y=1 围成的曲边梯形的面积时,若选择 x 为积分变量,则积分区间为( ) A.
6、0,e2B.0,2C.1,2D.0,1 解析如图,作出 y=ex,x=2,y=1 三个函数的图象,由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分,若选择 x 为积分变量,则积分区 间应为0,2.故选 B. 答案 B 3 如图,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y=x2和曲线 y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形 AOBC 内 随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( ) A.B.C.D. 1 2 1 6 1 4 1 3 解析依题意知,题中的正方形区域的面积为 12=1,阴影区域的面积等于-x2)dx=,因此所投的点落 1 0 ( (
7、 2 3 3 2 - 1 3 3)|1 0= 1 3 在叶形图内部的概率等于 ,故选 D. 1 3 答案 D 4 如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流 量与当前最大流量的比值为 . 解析以梯形的下底为 x 轴,上、下底边的中点连线为 y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为 y=ax2,则抛物线 过点(5,2),故 2=25a,得 a=,故抛物线的方程为 y=x2. 2 25 2 25 最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为 6,故梯形的面积为=16,而当前的截面面积 (10 + 6) 2 2 为 2dx=
8、2,故原始流量与当前流量的比为=1.2. 5 0 ( 2 - 2 25 2) ( 2 - 2 3 25 3)|5 0= 40 3 16 40 3 答案 1.2 5 抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成的图形的面积为 . 解析由 y=-2x+4,得点 A,B 处切线的斜率分别为 2 和-2, 则两切线方程分别为 y=2x-2 和 y=-2x+6. 由得 C(2,2). = 2 - 2, = - 2 + 6, ? 所以 S=SABC-(-x2+4x-3)dx 3 1 = 22- 1 2 (- 1 3 3+ 22 - 3 )| 3 1 =2-. 4 3
9、 = 2 3 答案 2 3 6 如图,直线 y=kx 把抛物线 y=x-x2与 x 轴所围成的图形分为面积相等的两部分,求 k 的值. 分析所围图形的面积可用定积分表示,从而确定出要求的参数. 解抛物线 y=x-x2与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1=0,x2=1,所以抛物线与 x 轴所围图形的面积 S=(x-x2)dx=. 1 0 ( 2 2 - 3 3)| 1 0= 1 2 1 3 = 1 6 由可得抛物线 y=x-x2与 y=kx 两交点的横坐标为 x1=0,x2=1-k, = , = - 2, ? 所以(x-x2-kx)dx 2 = 1 - 0 =(1-k)3. ( 1 - 2 2- 3 3)| 1 - 0 = 1 6 又 S= ,所以(1-k)3= . 1 6 1 2 于是 k=1-=1-. 3 1 2 3 4 2 所以 k 的值为 1-. 3 4 2 7 如图,已知曲线 C1:y=x2与曲线 C2:y=-x2+2ax(a1)交于点 O,A,直线 x=t(01,(2+)a1. 2 当(2-)a1,即 a时, 2 2 + 2 2 01,即 10, 2 f(t)在区间(0,(2-)a上单调递增; 2 当(2-)at1 时,f(t)0, 2 f(t)在区间(2-)a,1上单调递减. 2 f(t)的最大值是 f(2-)a=-1)a3. 2 2 3( 2
