《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第三章 统计案例3.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第三章 统计案例3.1 （20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用学习目标1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤知识点一线性回归模型思考某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？答案画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系设所求的线性回归方程为x，则0.5，0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为0.5x0.4.梳理(1)
2、函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ，其中(，)称为样本点的中心(4)线性回归模型ybxae，其中a和b是模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量知识点二线性回归分析具有相关关系的两个变量的线性回归方程为x.思考1预报变量与真实值y一样吗？答案不一定思考2预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？答案越小越好梳理(1)残差平方和法iyiiy
3、ixi (i1,2，n)称为相应于点(xi，yi)的残差残差平方和(yii)2越小，模型的拟合效果越好(2)残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高(3)利用相关指数R2刻画回归效果其计算公式为：R21，其几何意义：R2越接近于1，表示回归的效果越好知识点三建立回归模型的基本步骤1确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量2画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)3由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)4按一定规则(如
4、最小二乘法)估计回归方程中的参数5得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等1求线性回归方程前可以不进行相关性检验()2在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号()3利用线性回归方程求出的值是准确值()类型一求线性回归方程例1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力考点线性回归方程题点求线性回
5、归方程解(1)如图：(2)iyi6283105126158，9，4，6282102122344，0.7，40.792.3，故线性回归方程为0.7x2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x9时，0.792.34，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟(1)求线性回归方程的基本步骤列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系计算：，iyi.代入公式求出x中参数，的值写出线性回归方程并对实际问题作出估计(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义跟踪训练1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的
6、统计数据：x23456y2.23.85.56.57.0由此资料可知y对x呈线性相关关系(1)求线性回归方程；(2)求使用年限为10年时，该设备的维修费用为多少？考点线性回归方程题点求线性回归方程解(1)由上表中的数据可得4，5，90，iyi112.3，1.23，51.2340.08.线性回归方程为1.23x0.08.(2)当x10时，1.23100.0812.38.即使用年限为10年时，该设备的维修费用约为12.38万元类型二回归分析例2在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：x1416182022y1210753求出y对x的线性回归方程，并说明拟合效果的程度考点残差分析
7、与相关指数题点残差及相关指数的应用解(1416182022)18，(1210753)7.4.1421621822022221 660，iyi14121610187205223620，可得回归系数1.15，所以7.41.151828.1，所以线性回归方程为1.15x28.1.列出残差表：yii00.30.40.10.2yi4.62.60.42.44.4则(yii)20.3，(yi)253.2.R210.994.所以回归模型的拟合效果很好反思与感悟(1)该类题属于线性回归问题，解答此类题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R
8、2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助线性回归方程对实际问题进行分析(2)刻画回归效果的三种方法残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适残差平方和法：残差平方和(yii)2越小，模型的拟合效果越好相关指数法：R21越接近1，表明回归的效果越好跟踪训练2关于x与y有如下数据：x24568y3040605070有如下的两个线性模型：(1)6.5x17.5；(2)7x17.试比较哪一个拟合效果更好考点残差分析与相关指数题点残差及相关指数的应用解由(1)可得yii与yi的关系如下表：yii0.53.5106.50.5yi201010020(yii)2(0.5)2(3.
9、5)2102(6.5)20.52155，(yi)2(20)2(10)2102022021 000.R110.845.由(2)可得yii与yi的关系如下表：yii15893yi201010020(yii)2(1)2(5)282(9)2(3)2180，(yi)2(20)2(10)2102022021 000.R110.82.由于R0.845，R0.82,0.8450.82，RR.(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果例3某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据
10、作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归
11、直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .考点非线性回归分析题点非线性回归分析解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时
12、，年利润的预报值最大反思与感悟求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程跟踪训练3在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程考点非线性回归分析题点非线性回归分析解由数值表可作散点图如图，根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设，令t，则kt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.062 57.753694.2521.312 5所以1.55，7.2.所以4.134 4，0.8.所以4.134 4t0.8.所以y与x之间的回归方程是0.8.1下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A角度和它的余弦值B正方形的边长和面积C正n边形的边数和内角度数和D人的年龄和身高
