《2019年高考数学（文）二轮复习对点练：专题七 解析几何 专题对点练23 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学（文）二轮复习对点练：专题七 解析几何 专题对点练23 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题对点练 23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问 题 1.(2018 全国,文 20)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0),B(-2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点. (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; (2)证明:ABM=ABN. 2.已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为. 3 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于 点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 45. 3
2、.已知抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,直线 x=4 与 x 轴的交点为 P,与抛物线的交点为 Q,且 |QF|=|PQ|. (1)求抛物线的方程; (2) 如图所示,过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,D 两点,与圆 x2+(y-1)2=1 相交于 B,C 两点(A,B 两点相邻), 过 A,D 两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点 M,求ABM 与CDM 的面积之积的最小值. 4.已知椭圆 C:=1(ab0)的左、右交点分别为 F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一 2 2 + 2 23 ( 3, - 13 2 ) 点. (1)求椭圆 C 的标准方程和离心率 e 的值
3、; (2)若 T 为椭圆 C 上异于顶点的任意一点,M,N 分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线 TM 与 y 轴交于点 P,直线 TN 与 x 轴交于点 Q,求证:|PN|QM|为定值. 5.已知圆 O:x2+y2=r2,直线 x+2y+2=0 与圆 O 相切,且直线 l:y=kx+m 与椭圆 C:+y2=1 相交于 2 2 2 P,Q 两点,O 为坐标原点. (1)若直线 l 过椭圆 C 的左焦点,且与圆 O 交于 A,B 两点,且AOB=60,求直线 l 的方程; (2) 如图,若POQ 的重心恰好在圆上,求 m 的取值范围. 6.已知椭圆 C 与双曲线 y2-x2=1 有共同焦点,且离心率
4、为. 6 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 A 为椭圆 C 的下顶点,M,N 为椭圆 C 上异于 A 的两点,直线 AM 与 AN 的斜率之积为 1. 求证:直线 MN 恒过定点,并求出该定点坐标; 若 O 为坐标原点,求的取值范围. 7.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A 为 C 上位于第一象限的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于 另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D. (1)若当点 A 的横坐标为 3,且ADF 为等边三角形时,求 C 的方程; (2)对于(1)中求出的抛物线 C,若点 D(x0,0),记点 B 关于 x 轴的对称点为 E,AE 交
5、x 轴于点 P, (0 1 2) 且 APBP,求证:点 P 的坐标为(-x0,0),并求点 P 到直线 AB 的距离 d 的取值范围. 专题对点练 23 答案 1.(1)解 当 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=2,可得 M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线 BM 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1. (2)证明 当 l 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直平分线,所以ABM=ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则 x10,x20. 由得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2=,y
6、1y2=-4. = ( - 2), 2= 2 ? 直线 BM,BN 的斜率之和为 kBM+kBN=. 1 1+ 2 + 2 2+ 2 = 21+ 12+ 2(1+ 2) ( 1+ 2)(2 + 2) 将 x1=+2,x2=+2 及 y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)= 1 2 =0. 212+ 4(1+ 2) = - 8 + 8 所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以ABM=ABN. 综上,ABM=ABN. 2.(1)解 设椭圆 C 的方程为=1(ab0). 2 2 + 2 2 由题意得解得 c=. = 2, = 3 2
7、, ? 3 所以 b2=a2-c2=1. 所以椭圆 C 的方程为+y2=1. 2 4 (2)证明 设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n). 由题设知 m2,且 n0. 直线 AM 的斜率 kAM=, + 2 故直线 DE 的斜率 kDE=-. + 2 所以直线 DE 的方程为 y=-(x-m),直线 BN 的方程为 y=(x-2). + 2 2 - 联立 = - + 2 ( - ), = 2 - ( - 2), ? 解得点 E 的纵坐标 yE=-. (4 - 2) 4 - 2+ 2 由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2. 所以 yE=-n. 又 SBDE=|BD|yE|=
8、|BD|n|,SBDN=|BD|n|, 所以BDE 与BDN 的面积之比为 45. 3.解 (1)由题意可知 P(4,0),Q,|QF|=, ( 4, 8 ) 8 + 2 由|QF|=|PQ|,则,解得 p=2, 8 + 2 = 5 4 8 抛物线的方程为 x2=4y. (2)设 l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2), 联立整理得 x2-4kx-4=0,则 x1x2=-4, = + 1, 2= 4, ? 由 y=x2,求导 y=, 直线 MA:y-(x-x1), 2 1 4 = 1 2 即 y=x-, 1 2 2 1 4 同理求得 MD:y=x-, 2 2 2 2 4 联立解得
9、则 M(2k,-1), = 1 2 - 2 1 4 , = 2 2 - 2 2 4 , ? = 2, = - 1, ? M 到 l 的距离 d=2, 22+ 2 1 + 21 + 2 ABM 与CDM 的面积之积 SABMSCDM=|AB|CD|d2 = (|AF|-1)(|DF|-1)d2 =y1y2d2=d2=1+k21, 1 4 2 1 2 2 16 当且仅当 k=0 时取等号,当 k=0 时,ABM 与CDM 的面积之积取最小值 1. 4.(1)解 由已知得 c=2,F1(-2,0),F2(2,0),2a=|AF1|+|AF2| 333 =+ ( 3 + 2 3)2+(- 13 2 )
10、 2 =8. ( 3 - 2 3)2+(- 13 2 ) 2 a=4,b2=a2-c2=4,e=. = 1 2 椭圆 C 的标准方程为=1,e=. 2 16 + 2 4 (2)证明 T(x0,y0)(x00,y00), 则=1. 2 0 16 + 2 0 4 M(4,0),N(0,2),直线 TN 的方程为 y-2=x,令 y=0,得 Q, 0 - 2 0( - 2 0 0 - 2,0 ) 直线 TM 的方程为 y=(x-4), 0 0 - 4 令 x=0,得 P. ( 0, - 4 0 0 - 4 ) 则|MQ|=,则|PN|=. |4 + 20 0 - 2 | = | 20+ 40 - 8
11、 0 - 2 |2 + 40 0 - 4 | = | 20+ 40 - 8 0 - 4 | |QM|PN|=16, | 4(0+ 20- 4)2 ( 0 - 2)(0- 4)| = | 16(00 - 2 0 - 4 0 + 8) 00 - 2 0 - 4 0+ 8 | |PN|QM|为定值 16. 5.解 (1)直线 x+2y+2=0 与圆 O:x2+y2=r2相切, 2 r=, |0 + 0 + 2| 12+ (2 2)2 = 2 3 x2+y2=. 左焦点坐标为 F(-1,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 由AOB=60,得圆心 O 到直线 l 的距离 d=. 3 3 又
12、d=, | 2+ 1 | 2+ 1 = 1 3 解得 k=, 2 2 直线 l 的方程为 y=(x+1). 2 2 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 2 2 + 2 = 1, = + ? 由 0,得 2k2+1m2,() 且 x1+x2=-. 4 1 + 22 由POQ 重心恰好在圆 x2+y2= 上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, ( 1+ 2 3 , 1+ 2 3 ) 4 9 即(x1+x2)2+k(x1+x2)+2m2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4. +4m2=4, 16
13、(1 + 2 ) 22 (1 + 22)2 1622 1 + 22 化简得 m2=,代入()得 k0.又 m2=1+=1+. (1 + 22)2 42+ 1 (1 + 22)2 42+ 1 44 42+ 1 4 4 2 + 1 4 由 k0,得0,0,m21,得 m 的取值范围为 m1. 1 2 4 2 + 1 4 6.解 (1)设椭圆 C 的标准方程为=1(ab0), 2 2 + 2 2 由题意可得 a2-b2=2,e=,c=,解得 a=,b=1, = 6 323 即有椭圆的标准方程为+x2=1; 2 3 (2)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2), 由 A(0,-),直线 AM 与
14、 AN 的斜率之积为 1,可得=1, 3 1+ 3 1 2+ 3 2 即有 x1x2=y1y2+(y1+y2)+3, 3 由题意可知直线 MN 的斜率存在且不为 0,设直线 MN:y=kx+t, 代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0, 可得 x1x2=,x1+x2=-, 2 - 3 3 + 2 2 3 + 2 y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-, 22 3 + 2 = 6 3 + 2 y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2+kt+t2=, 2 - 3 3 + 2 ( - 2 3 + 2) 32 - 3 2 3 + 2 则+3, 2 - 3 3 + 2 = 32 - 3 2 3 + 2 + 3( 6 3 + 2) 化为 t2+3t+6=0, 3 解得 t=-2(-舍去), 33 则直线 MN 的方程为 y=kx-2, 3 即直线 MN 恒过定点,该定点坐标为(0,-2); 3 由可得=x1x2+y1y2 = 2 - 3 3 + 2 + 32 - 3 2 3 + 2 = 42- 3 - 32 3 + 2 =, 45 - 32 3 +
