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1、2018北京市合格性考练习题（一）数 学第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1. 设全集，集合，则 （ ） 2. 函数的最小正周期是 （ ） 3. 下列四个函数中，在区间上是减函数的是 （ ） 4. 若，且为锐角，则的值等于 （ ） 5. 不等式的解集是 （ ） 6. 在中，,则 （ ） 或 或7. 如果函数的图象经过点，则= （ ） 1 0 8. 已知过点，的直线与直线平行，则的值为 （ ） 109. 已知二次函数，那么 （ ） 10.实数的值为 （ ） 1 2 3 411.已知向量,，则 （ ） 12.若函数，则的最大值为 （ ）
2、 6 7 8 913.直线,是不同的直线，平面,是不同的平面，下列命题正确的是 （ ）直线平面，直线平面，则直线直线直线平面，直线平面，则直线直线直线直线,直线平面，直线平面,则平面直线直线,直线平面，直线平面,则直线平面14过点并且与直线垂直的直线方程是 （ ） 15. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 （ ） 35 25 15 716. 从这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是 （ ） 17. 已知，是线段的中点，那么向量的
3、坐标是 （ ） 18. 在中，则角为 （ ） 19. 如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图 （或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半 径为的圆，那么这个几何体的全面积为 ( ) 20点在直线上，则的最小值是 （ ） 21. 如图，在中，, 则 ( ) 22一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是 （ ） 23. 已知函数是定义在上的增函数，当时，若 ，其中，则 （ ） 24. 某同学为研究函数 （）的性质，构造了如图所示的两个边长为1
4、的 正方形和，点是边上的一个动点， 设，则. 则参考上述信息，得 到函数的零点的个数是 （ ） 25. 某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下： AB为元；AC为元；AD为元；BC为元；CD为 元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则BD的机票价 格为 ( ) （注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内） 元 元 元 元第二部分 解答题 （共25分）26. （本小题满分6分）如图，在正四棱柱中，为底面的对角线，为的中点.（）求证：；（）求证：. 27（本小题满分6分）已知函数，点是角终边上一点，（）求的值；（）设，求在上的最大值
5、和最小值.28. （本小题满分6分）已知点及圆：.（）求圆心的坐标及半径的大小；（）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由29. （本小题满分7分）某地今年上半年空气污染较为严重，该地环保监测机构对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻（时）的函数关系为： ，.其中为空气治理调节参数，且.（）若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（）规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范
6、围内？数学试题答案题号12345678910答案ABDCDBACAC题号11121314151617181920答案DCDBCDACBC题号2122232425答案BDCCD26.证明：（）连接交于,O 在正四棱柱中底面是正方形. 所以 . 又因为为正四棱柱， 所以底面. 又底面， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以. 3分（）因为底面是正方形，所以为中点. 又因为为中点， 所以为的中位线. 所以. 又平面，平面， 所以平面. 6分27. 解：（）因为点是角终边上一点， 所以， 所以，所以. 2分（）由（）知,. 所以.所以 因为, 所以. 所以，当，即时，的最大值为； 当，
7、即时，的最小值为. 6分28.解：（）因为， 所以， 所以圆的圆心坐标为,半径为. 2分（）设圆心到直线的距离为. 由圆圆心是，半径为，及垂径定理得， 解得.注意到圆心到点的距离为，所以为中点.所以，以为直径的圆，即为以为圆心半径为的圆.所以圆的方程为. 4分（）若过点的直线垂直平分弦，则直线必过圆心，所以，所以直线的斜率为，所以.所以直线方程为,即.计算圆心到直线的距离，所以，不存在实数使得过点的直线垂直平分弦. 6分29.解：（）当时，则，当该地的空气污染指数最低时，即时，.所以，解得.所以一天中，点时该地区的空气污染指数最低. 2分（）设,，则当时，即显然在上是减函数，在上是增函数，则.因为，若，解得，若，解得.所以又因为要使该地区每天的空气污染指数不超过3，即. 当时，符合要求； 当时，由,得，故.综上所述，调节参数应控制在内. 7分 8 / 8
