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1、1977年江苏省高考数学试卷一、解答题（共15小题，满分100分）1（6分）（1977江苏）计算：2（6分）（1977江苏）求函数的定义域3（8分）（1977江苏）解方程：4（8分）（1977江苏）计算：5（8分）（1977江苏）把直角坐标方程（x3）2+y2=9化为极坐标方程6（8分）（1977江苏）计算7（8分）（1977江苏）分解因式x42x2y3y2+8y48（8分）（1977江苏）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点求A、B两点间的距离9（8分）（1977江苏）在直角三角形ABC中，ACB=90，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且BCD与ACD之
2、比为3：1，求证CD=DE10（8分）（1977江苏）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度11（8分）（1977江苏）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为6012（8分）（1977江苏）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是6013（8分）（1977江苏）在两条平行的直线A
3、B和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F试问K取在哪里EMK与FNK的面积之和最小？最小值是多少？14（1977江苏）求极限15（1977江苏）求不定积分1977年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分100分）1（6分）（1977江苏）计算：考点：有理数指数幂的运算性质专题：计算题分析：按照指数幂的简单化简方法，依次化简指数幂，进而可得答案解答：解：原式=+1001+=99故答案为：99点评：本题考查指数幂的简单化简，难度不大，学生只要掌握运算公式，做题细心一点就行了2（6分）（1977江苏）求函数
4、的定义域考点：函数的定义域及其求法分析：根据题意，写出三个部分的定义域，再求交集可得答案解答：解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2x3和3x5点评：本题考查函数定义域的求法，是基本的题目，要牢记各种函数的定义域3（8分）（1977江苏）解方程：考点：有理数指数幂的运算性质分析：根据125=53=，令指数相等即可解答：解：原方程即，x2+2x=3x=3或x=1故原方程的解为：x=3或x=1点评：本题主要考查解指数函数型方程的问题4（8分）（1977江苏）计算：考点：对数的运算性质专题：计算题分析：利用根式分数指数幂化简，然后利用对数性质求解即可解答：解：=点评：本题考查根式分数指数幂的化
5、简，对数的运算性质，是基础题5（8分）（1977江苏）把直角坐标方程（x3）2+y2=9化为极坐标方程考点：点的极坐标和直角坐标的互化专题：计算题分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得解答：解：原方程可展开为x26x+9+y2=9，x26x+y2=026cos=0=0或=6cos即=6cos点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化6（8分）（1977江苏）计算考点：极限及其运算；等差数列的前n项和 专题：计算题分析：数列1
6、，2，3，n为首项为1，公差为1的等差数列，则前n项的和为，代入极限求出即可解答：解：原式=点评：考查学生掌握极限及其运算的能力，以及求等差数列前n项和的能力7（8分）（1977江苏）分解因式x42x2y3y2+8y4考点：有理数指数幂的化简求值 专题：计算题分析：将3y2变为y2+（4y2），则原式变为6项，前三项结合，后三项结合分别利用完全平方公式的逆运算分解因式，然后再利用平方差公式分别因式即可解答：解：原式=（x42x2y+y2）（4y28y+4）=（x2y）2（2y2）2=（x2y+2y2）（x2y2y+2）=（x2+y2）（x23y+2）点评：此题的突破点是利用拆项法将3y2进行变
7、形，考查学生灵活运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解分解因式时，学生应注意将因式分解到底8（8分）（1977江苏）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点求A、B两点间的距离考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题专题：计算题分析：先根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据倾斜角确定直线AB的方程，再与抛物线方程联立利用韦达定理确定A，B两点横坐标之和与横坐标之积，即纵坐标之和与纵坐标之积最后根据两点间距离公式求得A、B两点间的距离解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为，它与抛物线之二交点坐标由下面方程组确定，解得（1x）2=4x，x2
8、6x+1=0由根与系数关系，得x1+x2=6，x1x2=1又解得y2=4（1y），y2+4y4=0，y1+y2=4，y1y2=4由两点间距离公式但（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=364=32，（y1y2）2=（y1+y2）24y1y2=16+16=32故AB两点间距离为8点评：本题主要考查了抛物线与直线的关系问题一般是把直线方程和抛物线方程联立，获得一元二次方程，再利用韦达定理来找到解决问题的突破口9（8分）（1977江苏）在直角三角形ABC中，ACB=90，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且BCD与ACD之比为3：1，求证CD=DE考点：相似三角形的性质 专题：证明题分析：
9、欲求证CD=DE，在直角三角形CDE中，只须证明其中一个锐角为45度即可，利用CD、CE分别为斜边AB上的高和中线可得：“B=ECB，ACD=ECB”，再利用BCD与ACD之比为3：1即可求得ECD的大小，从而解决问题解答：证明：A+ACD=A+B=90，ACD=B又CE是直角ABC的斜边AB上的中线CE=EBB=ECB，ACD=ECB但BCD=3ACD，ECD=2ACD=ACB=90=45，EDC为等腰直角三角形CE=DE点评：本小题主要考查直角三角形中边角关系、三角形高和中线等基础知识，考查运算求解能力、转化思想属于基础题10（8分）（1977江苏）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球
10、以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度考点：函数模型的选择与应用；根据实际问题选择函数类型 专题：应用题分析：本题考查的知识点是方程的构造与应用，要求ACB的长度，由AmC=40厘米，我们只要求出BC长即可，我们不妨设BC=x厘米，甲球速度为v甲，乙球速度为v乙然后根据相遇问题中时间相等，构造两次相遇时的方程，解方程组即可求出答案解答：解：如图设BC
11、=x厘米甲球速度为v甲，乙球速度为v乙根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程第二次等候时方程由此可得，（x40）（x80）=0由于已知条件v甲v乙，x40，x=80（厘米）ACB=40+80=120（厘米）点评：方程与函数思想是中学阶段的四大数学思想之一，在利用方程思想解决问题时，我们要解决两个问题：一是谁是未知数，一般由“求谁设谁”的原则来决定；二是找等量关系，如本题中相遇问题的时间相等并由些构造方程，进行求解11（8分）（1977江苏）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60考点：等差数列的性质专题：证明题分析：设三角形三内角分别为d，+d，则有（d）+（+d
12、）=180，从而导出三角形中必有一内角为60解答：证明：设三角形三内角分别为d，+d，则有（d）+（+d）=180，3=180=60点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用12（8分）（1977江苏）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60考点：数列的应用；余弦定理的应用专题：证明题分析：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60，今设其对边为a，则三角形的三边分别为（此处q为公比，且q0）再由余弦定理可得此三角形为等边三角形，三个内角均为60解答：证明：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60，今设其对边为a，则
13、三角形的三边分别为（此处q为公比，且q0）由余弦定理可得，q2=1q=1，q=1（不合题意，舍去）由q=1可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为60点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用13（8分）（1977江苏）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F试问K取在哪里EMK与FNK的面积之和最小？最小值是多少？考点：解三角形的实际应用专题：计算题；应用题分析：先作两条平行直线的公垂线PQ，设出PQ、MN，然后令PK=x，则可表示出KQ，再根据EMKFNK，MKPNKQ，判断出，进而可求得NF，再表示出EMK与FNK的面积之和，根据均值不等式，求得面积之和最小时x的值，并求得面积的最小值解答：解：过点K作两条平行直线的公垂线PQ，设PQ=l，MN=m，令PK=x，则KQ=lxEMKFNK，又MKPNKQ，于是得到，从而EMK与FNK的面积之和为=，A有最小值点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生综合分析问题和基本的运算能力14
