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1、第45讲 方程求根,数学建模,引例,有一个半径为r 的球，侵入水中， 深度为d，假设这个球由一种密 度为 的长叶松构成，半 径r=10cm，问其没入水中的深 度为多少？,数学建模,球体以深度d 侵入水中所排开的水的质量是 球的质量为 ，根据阿基米德定律， 则 代入数值，整理得,数学建模,此问题就变为求解一个三次多项式的根，这是一个比较简单的非线性方程求根问题。 很多实际问题最终都会归纳为一个求解非线性方 程 的问题。 若有 使得 ，则称 是方程的根或零点。,除了极少数很简单的 以外，一般很难求 出非线性方程根的解析表达式,既然很难求出方程的精确解，我们就考虑研究如何求出方程的近似解。,数学建模
2、,迭代法是在计算机上求解“近似问题”的一种常用方法，它是指重复执行一个计算过程，直到找到答案为止。首先找到一个逐项计算的规律或函数 并给出一个起始点 ，通过迭代规则 得到一个序列 ，即 如果产生的序列 有极限，收敛到根，则达到了求解目的，我们可选取某个 作为近似根。,数学建模,牛顿迭代法,最常用的迭代法之一 假设 是的某个根附近的一个点，把在附近泰勒展开，只取其前两项，即线性部分 可以作为原方程根的一个新的近似，重复以上步骤就可以得到牛顿迭代公式,数学建模,牛顿迭代法几何意义,牛顿迭代法就是用切线与x轴交点的横坐标代替 曲线与x轴交点的横坐标。,数学建模,例11.1 如果 ，那么 的牛顿迭代格
3、式为 先取初值 ，得到迭代序列 先取初值 ，得到迭代序列,1.642092615934331 1.570675277161251 1.570796326795488 1.570796326795488 1.570796326794897 1.570796326794897 .,1.642092615934331 1.570675277161251 1.570796326795488 1.570796326795488 1.570796326794897 1.570796326794897 .,此时迭代序列收敛，极限 ，它是方程在原点右边的第一个根。,此时迭代序列收敛，极限 ，它是方程在原点左边
4、的第一个根。,牛顿迭代法找到的是初值附近的根！,数学建模,例 11.2 设 ，那么 的牛顿迭代格式为 取初值 ， 取初值 ，,-3 1.961538461538462 1.147175961403547 0.006579371480712 3.000389074071233 1.961818175666325 1.147430228481603 0.007256247552423 3.000473188773216 1.961878646360241 .,1.727272727272727 1.673691173691174 1.671702569747502 1.67169988166206
5、9 1.671699881657161 1.671699881657161 .,迭代序列不收敛,序列收敛到问题的根,只有初值足够接近根，牛顿迭代产生的序列才能收敛到！,数学建模,用Matlab求解方程的根,roots 求解多项式方程根的函数，即 是一个多项式。 在Matlab中把多项式的运算转化为对应系数向量的运算。 语法： x=roots(p) p是n次多项式对应的系数向量，输出的x是p=0的n个根构成的n维向量 要求解没入水中的深度d，即求解方程 。 在command window 中输入 p=1,-30,0,2552； x=roots(p),引例,输出 x = 26.3146 11.86
6、15 -8.1761,可见这个多项式方程一共有三个根。分析问题我们发现，-8.1761因为是负数，它不可能是问题的解；26.3146比球的直径大，也不是需要的解；所以球没入水中的深度d=11.8615。,数学建模,fzero 语法： fzero(f,x0) 求方程f=0在x0附近的根,如果x0是一个数，fzero先找到一个包含x0的一个区间，使得函数f在区间的两个端点处异号，然后在这个区间中找f的根，即这个函数只能找到离x0最近的那个根；如果找不到这个区间则返回NAN。 如果x0是一个区间，则表示fzero将在这个区间内找根，此时f必须在区间的两个端点处异号。 语法中的f可以是字符串形式或通过
7、调用的函数句柄，但不能是符号表达式。 例如：fzero(cos,0.9) fzero(cos(x),0.9) fzero(x3+3*x+1,1.9) fzero(x3+3*x+1,1,2),数学建模,solve 语法： solve（f,v）求解方程f=0中的未知变量v solve（f） 求解方程f=0中的默认变量 例：x,y,z=solve(x+2*y=27, x+z=3,x2+3*z2,x,y,z),f可以是字符串表示的方程或符号表达式，如果f不含等号，则表示解方程f=0。 例：求解 1）sym x; f=x3-3*x+1; solve(f,x) 2）solve(x3-3*x+1,x) 3）solve(x3-3*x+1=0,x),如果方程不存在解析解，solve输出数值解。,solve也可以用来求解方程组。,Thank you,方程求根,
