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1、数 学 建 模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 勒内笛卡尔,第1章 数学建模概述,第3讲 物理领域中的数学建模(II) 二、三级火箭发射卫星（2）,数学建模,数学建模,模型II火箭系统发射速度模型,问题分析: 在发射卫星过程中，火箭系统靠燃料燃烧喷射气体产生推动力升向高空，因此火箭系统的质量和速度都是变化的，其质量逐渐减少、速度逐渐增大。 考虑火箭系统质量的变化，对模型I的假设做出修正和增补，从而建立新的速度模型。,图1.2 单级火箭系统示意图,数学建模,模型假设,2) 卫星将在距地面高度为h的平面轨道上做匀速圆周运动,1) 地球是半径为 R 的均匀球体,3) 忽略火箭系统重力和大
2、气阻力的影响,4) 火箭系统在t时刻的质量和速度分别为m(t)和v(t),5) 火箭系统喷气对箭体的相对速度为常值 u,数学建模,模型建立与求解,t, t+t 时间内，火箭 系统质量减少,t 0,在初始速度v0和初始质量m0给定条件下，火箭速度v(t)取决于喷气速度u和质量比m0/m(t)。,数学建模,模型建立与求解,分析火箭系统质量的构成,图1.3 单级火箭系统质量构成示意图,数学建模,模型建立与求解,在火箭发射过程中，燃料质量是递减的，星箭分离瞬间的剩余质量为 ,v0 = 0,卫星发 射速度,mF=mF(0) m0=mp+mF+ms,mp固定，提高 m0/m(t)相当于 减少=ms/(ms
3、+mF),末速度与卫星质量、火箭系统初始质量、喷气速度及质量比之间关系, 它随卫星质量的增大而减小。,在目前的技术条件下，一般 u = 3km/s, =0.1，即使 mp = 0，最高速度只能达到 v =u ln -1=7km/s，无法达到要求。故应考虑多级火箭模型！,数学建模,2. 多级火箭系统发射卫星,问题分析：多级火箭采用递推发射原理，即在发射过程中逐级点燃，丢掉该级运载火箭，以加速下一级运载工具，直至最后一级火箭达到预定高度时才释放出卫星。,图1.4 n级火箭系统结构示意图,数学建模,模型假设,在模型II中假设1）-5）的前提下增加假设,6）考虑 n 级火箭系统，且在理想的 n 级火箭系统中各级间的 质量比值 和相对喷气速度u 均相同。,数学建模,模型建立与求解,第i级火箭质量mi，结构质量mi，燃料质量(1-)mi，卫星为第n+1级。记,M0：系统的初始质量； wi, wi : 第 i 级火箭工作时的系统初始质量和剩余质量。,第 i 级火箭系统 的末速度,数学建模,模型建立与求解,为卫星运行需要速度，是常值。,为提高效率，应使载荷尽可能高，即下式尽可能小,最优设计应使,数学建模,结果及分析,三级火箭系统比二级火箭系统质量减少近一半，且其造价、可靠性又要比四级及以上火箭系统优越，因此通常会使用三级火箭发射卫星。,作业,教材第一章：,
