数学物理方法11课件

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1、数学物理方法,李莉 ,1,教学目的,通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：分离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟悉和掌握Bessel函数和Legendre函数等两类特殊函数的性质和应用。 通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为电磁场、微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能力打下基础。,2,教材与参考书,教材：数学物理方法理论、历史与计算机，郭玉翠，大连理工大学出版社 数学物理方法第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等，高教出版社，2002年 实用偏微分

2、方程英文版第四版，（美）理查德.哈伯曼，机械工业出版社，2005年,学时,32学时,3,对大家的要求,按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业,4,成绩评定,平时成绩：30% 考勤 作业 期末考试：70%,数学物理方法： 数学物理方程+特殊函数,数学物理方程 从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程和积分方程。 特殊函数 与初等函数相对； 初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数,5,主要内容,第一章 数学物理方程及其定解条件 1.1 基本方程的建立 1.2 定解条件 1.3 定解问题的提法 1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化

3、简 第二章 分离变量法 2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 2.2 二维Laplace方程的定解问题 2.3 非齐次方程的解法 2.4 非齐次边界条件的处理,6,第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 3.1 二阶常微分方程的级数解法 3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解 3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解 3.4 Sturm-Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题 第四章 Bessel函数的性质及其应用 4.1 Bessel方程的引出 4.2 Bessel函数的性质 4.3 Bessel函数的应用 *4.4 修正Bessel函数 *4.5 可化为Bess

4、el方程的方程,7,第五章 Legendre 多项式 5.1 Legendre 方程及Legendre 多项式的引出 5.2 Legendre 多项式的性质 5.3 Legendre多项式的应用 *5.4 关联Legendre 多项式及其应用 第六章 行波法与积分变换法 6.1 一维波动方程的DAlember(达朗贝尔)公式 6.2 三维波动方程的Poisson公式 6.3 Fourier积分变换法求定解问题 6.4 Laplace变换法解定解问题,8,第七章 Green函数法 7.1 引言 7.2 函数的定义与性质 7.3 Poisson方程的边值问题 7.4 Green函数的一般求法 7.

5、5 用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数,9,教学基本要求,掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的物理背景及其定解问题的提法； 熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量法，行波法、积分变换法等； 熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其应用。,10,物理过程,数学模型,数学解,物理解,学习方法,物理现象,第1章 数学物理方程及其定解条件,典型方程和定解条件的导出,11,1-1 基本方程的建立,基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的数学表达 任务：将物理规律“翻译”为数学语言，即列出某类物理现象所满足的数学物理方程 常用的方法： 微元法：在整个系统

6、中分出一个小部分，分析邻近部分与这一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到所研究问题满足的数学物理方程 规律法：将物理规律（比如Maxwell方程组）用（容易求解的）数学物理方程表示出来 统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理方程，常用于经济、社会科学等领域。,12,1.1.1 波动方程 均匀弦的微小横振动,设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。,下面研究弦作微小横振动的规律。,所谓“横向”是指全部运动出现在一个平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动。,所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任意位置处

7、切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项可以忽略不计。,弦是均匀的，设其线密度为 ；,13,弧段两端所受张力为 和,设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置为M，其位移MN记为u。,显然，在振动过程中，位移u是变量x和t的函数，即,采用微元法来建立位移u满足的方程：,把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。,在弦上任取一弧段 ，其长度为ds，,由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。,是弦的线密度,14,现在考虑弧段 在t时刻的受力和运动情况。,根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的质量乘以该方向上的运动加速度

8、。,在x方向弧段 受力总和为,由于弦只做横向运动，所以,按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和M点处切线的倾角都很小，即：,15,略去 和 的所有高于一次方的项时，就有,由,代入式,便可近似得到：,在u方向弧段 受力总和为,其中， 是 的重力。,16,当 时，,小弧段在时刻t沿u方向的加速度近似为 ，,小弧段的质量为,由牛顿第二定律有,将近似式代入，,17,上式左端方括号的部分是由于x产生 的变化引起的 的改变量，可以用微分近似代替：,所以式（*）变为,（*）,或,一般来说，张力较大时弦振动的速度变化很快，即 要比g大得多，所以可以把g略去。,可得：,其中，,这就是均匀弦的横振动所

9、满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在空间上是一维的，故称一维波动方程。,18,其中， ，表示t时刻单位质量的弦在x点所受的外力。,如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力，即力密度为F(x,t)。则在方程左端还应加上一项外力 。,受迫振动,则方程组,应该变为：,重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：,（*）,式（*）称为弦的受迫振动方程。,19,包括有非零自由项的方程称为非齐次方程。,自由项恒等于零的方程称为齐次方程。,方程（*）为一维齐次波动方程，,方程（*）为一维非齐次波动方程。,方程（*）和方程（*）的差别在于方程（ * ）的右端多了一个与未知函数u

10、无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。,（*）,（*）,20,杆的质量密度为 ，横截面为S（常数），长度为,均匀弹性杆的微小纵振动,一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻部分发生伸长或缩短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动的传播就是波。,弹性模量E：杆伸长单位长度所需的力,x点在t时刻的纵向位移为u(x,t) 。,外力密度为F(x,t)，,应力 ：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力,：杆上x点在t时刻的应力。,应变：杆的相对伸长,21,x点的应变为：,如图，AB段的相对伸长是：,由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度,由牛顿第二定律，可得x,x

11、+x段的运动方程为：,虎克（Hooke）定律：应力=弹性模量*应变,22,将虎克定律 代入上式,得：,将函数 在 处展开为泰勒级数并取前两项，得：,其中， 满足,23,以 除上式两端，得：,令 ，得：,记,方程变为：,一维波动方程,24,传输线方程,对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的（指频率还没有高到能显著地辐射电磁波的情况），电路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。,考虑一来一往的高频传输线（具有分布参数的导体）,在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度I与电压V来描述，此处I与V都是

12、 的函数,记作 与 。,R每一回路单位的串联电阻； L每一回路单位的串联电感； C每单位长度的分路电容； G每单位长度的分路电导。,25,采用微元法,根据基尔霍夫第二定律，在长度为的传输线中，电压降应等于电动势之和，即,两边除以 ，并令 ，可得,另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，,即,可得,26,即I 和V应满足如下方程组：,从这个方程组消去V (或I), 即可得到I (或V)所满足的方程。,27,（1）,（2）,将方程（1）对x微分（假定V与I对x,t都是二次连续可微的），得：,同时在方程（2）两端乘以C后再对t微分，可得：,将两个结果相减，即得：,28,将 代

13、入上式，得,电流I满足的微分方程,类似可得电压V满足的方程：,传输线方程,29,根据不同的具体情况，对参数R ,L, C, G作不同的假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。,无损耗传输线：,此时传输线方程,可简化为,无损耗传输线方程,30,若令,这两个方程与一维齐次波动方程标准形式完全相同。,由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。,一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。,31,电磁波方程,电磁场由电场强度E，电位移矢量D，磁场强度H，磁感应强度B描述。 电磁场的规律由以下的麦克斯韦方程组表述：,其中， 是自由电荷密度， 是

14、传导电流密度。,这组方程还必须与下述场的物质方程相联立,其中， 是介质的介电常数， 为导磁率， 为导电率。,（1-1）,（1-2）,（1-3）,（1-4）,（2-1）,（2-2）,（2-3）,32,哈密顿算符：,运算规则：,是个矢量微分算子，在运算中具有矢量和微分双重性质。,梯度：标量场在这一点的最大变化率。,旋度：矢量场中某一点的最大环流量。,散度：矢量场中某一点的通量。表示源的大小。,33,在方程组（1）中，E和H是相互耦合的。,设法脱耦，导出E和H单独满足的方程。,例如，先消去E:,在方程（1-4）左端求旋度，并利用方程（2-1）和（2-3）,（1-1）,（1-2）,（1-3）,（1-4）,（2-1）,（2-3）,得：,（2-1）,（2-2）,（2-3）,34,将方程（1-2）,和方程（2-2）,代入上式，得：,其中，,其中的 称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中，一、二、三维拉普拉斯算符分别是,所以得到H所满足的方程为：,同理可得E所满足的方程为：,35,在直角坐标系中将矢量分解为它们的分量，,而用u代表其中任一分量，则u满足方程,其中,矢量形式的三维波动方程,如果介质不导电（ ），则方程,可化简为：,标量形式的三维波动方程,36,