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1、第4章 数字处理的技巧,生活中的信号大部分是模拟信号，它们的时间连续，而且持续时间很长，很少有周期规律。单从数学的观点看，用频域分析法处理这些信号时，只能用连续非周期信号的傅里叶变换；而计算机只能处理数字信号，不能处理模拟信号。 怎么让计算机处理这些信号呢？解决这些问题的策略是：对连续时间信号进行采样，将连续时间信号变成离散时间信号；并且，在时间上将信号分段，逐段地分析和处理这些信号。,4.1 信号的转变 模拟信号用计算机处理时，必须先变成数字信号，然后用计算机对它们进行处理。数字信号处理完毕后，如果应中用需要模拟信号，数字信号还要变成模拟信号。 4.1.1 模拟信号变成数字信号 模拟信号变成
2、数字信号时，需要采样。对变化速度快的现象，如声波的空气振动、病人的体温、汛期的水位、战时的军情等，采样的时间间隔可短但不可长，时间越短越好，但是太短要花费许多人力物力。 在研究特定的现象时，为了方便，采样的时间间隔往往是相对不变的，所以，采样的时间间隔叫做采样周期，用符号Ts表示。采样周期越短，数字信号越能准确地描述原信号的本性。为了节省成本，采样周期应该大些，可以取多大呢？,采样周期取多大才好，这个问题让我们先观察连续信号x(t)随时间的变化情况。从图4.1看，如果信号处在一直朝某个方向变化的范围，则其中间的变化大致按线性增长的规律，不需要测量。这时，选择信号 单向变化的最短时间作为采样周期
3、，基本上可以使数字信号较好地描述物理变化的真实情况，还能照顾生产数字产品的成本。,图4.1,4.1.2 数字信号变成模拟信号 将数字信号变成模拟信号时，常用方法有台阶式和斜坡式两种，左图是台阶式的数模转换法，右图是 斜坡式的数模转换法。图4.2中的数字信号用带点的垂直虚线表示，实际上，在机器内部，数字信号在各时序的位置上，是一串二进制数字。 两种转换法各有优缺点。,图4.2,台阶式数模转换器的输出电压的波形特点是阶梯状的，每个时段有一个稳定的电压，其数值由数字信号指定，这个数值每隔一个时间间隔被数字信号改变一次，使波形发生跳变。 斜坡式数模转换器的输出电压是根据直线的斜率变化，斜率可根据数字信
4、号的两个相邻数字求得，斜率间隔一个采样周期改变一次，输出电压按新求出的斜率变化。 从原理上看，台阶式数模转换获得的模拟信号皱纹明显，不像真实信号；斜坡式数模转换获得的模拟信号比较平滑，更接近真实信号。 从电路制作的角度看，台阶式数模转换容易实现，其生产的成本较低；斜坡式数模转换较难实现，其生产的成本高。,4.2 信号转变遵循的定理 上一节介绍的采样周期的选择标准，是从时域的角度考虑。从频域的角度看信号和系统，往往能看到信号和系统的内涵。如何从频域的角度看待信号的采样呢？ 以电影的摄影为例。摄影机拍下真实景物的最低速度是每秒24幅影像，如果拍摄的影像少于24幅，那么，我们看到的电影画面就会感觉不
5、连续。 在采样信号能够反映连续时间信号的可利用、可欣赏或有价值的内容的情况下，采样频率越小越容易用电路实现，成本也越低。那么，采样频率最小能小到什么程度呢？让我们从频域的角度来看这个问题。,4.2.1 模拟信号到数字信号 采样定理告诉我们：如果模拟信号频谱的最高频率是fa的话，那么，只要选择采样频率fs2fa，采样信号就可以反映模拟信号的真实情况。 下面分别从理想采样和实际采样的角度来认识这个问题。 （1）理想采样的角度 理想采样就是在t=nT时刻测量模拟信号xa(t)，并把xa(nT)变为离散时间信号x(n)。实际上，采样的时候，不管是人工还是电路，都要一段时间才能完成。 为了简化问题，需要
6、借用单位脉冲函数(t)的概念。 这是个理想脉冲函数，有多种定义，例如,(4.1),其中u(t)是单位阶跃函数，其定义是 单位脉冲函数的另一种定义是 假设有一个周期出现(t)的脉冲函数p(t)，写为 那么，用周期脉冲函数p(t)表示的采样信号可写为,(4.4),(4.3),这种数学写法的目的是，方便建立模拟信号xa(t)与离散时间信号x(n)之间的频谱关系。 首先，用连续傅里叶级数CFS的形式表示周期脉冲函数p(t)，即 其频谱,(4.5),(4.6),(4.7),计算P(k)时，可按p(t)的定义(4.4)进行，即 将P(k)的结果代入p(t)，就可以得到用一串正弦波组成的周期脉冲函数,(4.
7、7),(4.8),19节,其次，用周期脉冲函数表达式(4.8)推导采样信号的频谱。根据CTFT的分析方程(3.84)、公式(4.5)和公式(4.8)，采样信号xs(t)的频谱 采样信号频谱的直观写法是,(4.9),(4.10),这个公式从理论上说明：采样信号的频谱Xs()是模拟信号的频谱Xa()的周期扩展和叠加，扩展是沿着角频率轴向左右方向延伸，扩展的周期是s。 假设xa(t)的频谱Xa()如图4.5上图所示，则对xa(t) 采样的信号xs(t)频谱Xs()如下图所示。频谱图显示：除了比例系数1/T，采样角频率s大于Xa()最高角频率a的两倍时，Xs()的各周期内容与Xa()的内容相同。,图4
8、.5,然后，直接对公式(4.5)进行CTFT，这时，采样信号的频谱变为 令x(n)=xa(nT)，并将它代入上式，则采样信号xs(t)的频谱,(4.11),(4.12),根据DTFT的定义(3.80)，上式右边就是离散时间信号x(n)的频谱X()，它的数字角频率=T。 总结频谱公式(4.9) 和频谱公式(4.12) 的关系，得到理想采样的结论：离散时间信号x(n)的频谱X()是模拟信号频谱Xa()的周期扩展和叠加， 这说明了采样定理的正确性。,(4.9),(4.12),(4.13),（2）实际采样的角度 单位脉冲函数是做不出来的。采样信号xs(t)和离散时间信号x(n)的概念不同：xs(t)是
9、连续时间t的信号，它有时间的含义；而x(n)是时序n的信号，它没有时间的含义。但是，单位脉冲函数采样具有理论意义，它给我们指明正确采样的准则；还有，采样时刻的模拟信号物理量必须正确地转换为数字信号。 实际采样用电路完成，它有两种实现方法。一种是开关采样，得到的波形如图4.6右边所示。,图4.6,这种采样方法简单，但是，在开关接通时的输出信号xs(t)是变化的，不能保证采样时刻t=nT的物理量xa(nT)被电路准确地变成数字信号。 另一种是保持采样，得到的波形如图4.7右边所示。 每次采样时，电路维持输出信号的大小不变。这种做法比较复杂，但是，它容易让采样时刻的模拟物理量正确地变成数字信号。,图
10、4.7,另外，实际检测的模拟信号往往包含许多频率成分，它们的频带很宽。对于这种情况，为了满足采样定理，采样频率只好相应地提高，造成制作成本的增加。 为了避免采样频率的提高，同时又防止折叠失真，可在模数转换前设置一个模拟低通滤波器，使频带很宽的信号变成频带分布在我们希望的范围。,图4.8,例题4.3 假设有两个频带有限的信号：一个是低通信号x1(t)，它的频谱集中在f1=0Hz的周围， 带宽B1=2MHz；另一个是带通信号x2(t)，它由x1(t)经过幅度调制后得到，x2(t)的频谱集中在f2=10MHz的周围，带宽B2=4MHz。 若采用低通信号的采样定理对这两种信号进行采样，请问它们的采样频
11、率最低应该选择多少？,图4.10,解 根据奈奎斯特采样定理， （1）低通信号的最低采样频率fs1=2B1=4 MHz， （2）带通信号的最低采样频率fs2=2(f2+B2/2)=24 MHz。 需要说明的是：x2(t)是x1(t)对载波幅度调制的结果，两者的信息是相同的；但是，x2(t)需要的采样频率却很高，这会增加模数转换器和数字存储器等器件的负担。 信号调制是通信的一种手段，在应用数字通信技术时，我们必须解决：如何降低带通信号的采样频率，又不产生折叠失真。 如何解决这个实际问题呢？分析频谱是观察问题本质的方法。,让我们深入了解采样信号的频谱Xs(f)和模拟带通信号的频谱Xa(f)的关系。从
12、采样信号的频谱看， 假设Xa(f)的通带最低频率fL=mB，最高频率fH=fL+B，m是自然数，B是带通信号的频带宽度。频谱Xa(f)有正频率部分和负频率部分，为了容易辨认， 正频率部分用阴影表示，负频率部分用花点表示。,(4.15),图4.11,20节,观察Xa(f)的正负频率部分在频谱公式 中的变化特点，它们都随k=、-2、-1、0、1、2、做频谱复制，也叫频谱扩展。 假设采样频率fs=2B，则Xa(f)的正频率部分在k等于整数时，将按采样频率fs=2B的周期重复地出现。 例如：k=-41时，通带信号的频谱成分仍然坐落在原来的位置f=fLfH上，而复制的频谱向其左右两边周期地发展；在每个k
13、的频率周期范围，有一半范围正好被Xa(f)的正频率部分填补，另一半范围则是空白的。 按这个规律画出的频谱图如图4.12的第一行所示，k=0的频谱与原频谱Xa(f)的位置和形状都相同。,(4.15),在其它位置上，是k=-4、-3、-2、-1和1的频谱，它们 的形状与原频谱Xa(f)也相同。 负频率部分的频谱复制情况类似正频率部分的。,图4.12,正频率和负频率部分的频谱复制正好是互补的，无折叠失真。将这两种频谱复制结果相加，就是通带信号采样的频谱Xs(f)。 该采样频谱图说明：在满足一定的条件下，Xs(f)的每个周期的一半正好是Xa(f)的正频率部分，另一半正好是Xa(f)的负频率部分。这种带
14、通采样的策略是：让信号的最低频率fL、带宽B和采样频率fs具备条件 就可以避免带通信号的采样失真。 这种采样策略叫带通采样定理。 后图显示低通信号采样和带通信号采样的频谱。,(4.16),对模拟信号xa(t)采样，得到离散时间信号x(n)=xa(nT)，它的频谱图为,http:/en.wikipedia.org/wiki/Sampling_frequency,例题4.4 假设有一个频带有限的模拟带通信号，它的频谱集中在f=10MHz的周围，带宽B=4MHz。请问它的不失真采样频率最低可以选多少？ 解 根据前面介绍的采样定理，有两种采样策略。 （1）低通采样策略 它的采样频率fs1=2(f+B/
15、2)=24 MHz。 （2）带通采样策略 频谱的最低频率fL=10-B/2=8MHz，而8MHz =mB=2B，m=2为自然数，满足通带采样定理。 它的采样频率fs2=2B=8 MHz。 比较两种方法，第二种采样频率最低，故最低采样频率应选8MHz。,带通采样广泛应用在无线电通信中，图4.13是一种数字无线电通信系统，其DSP可完成信号的调制、 加密、编码、信道分离、解调、解密、解码等功能。 实际上，这些功能是计算机在软件的基础上实现的，故数字无线电也叫软件无线电。它在接收机里的原理如图4.14所示，有模拟电路，也有DSP电路。,图4.13,图4.14,4.2.2 数字信号到模拟信号 计算机处
16、理后的数字信号，有时还要变回模拟信号。将数字信号变成模拟信号的电路或器件叫数模转换器，让我们从理想滤波的和实际滤波的角度来认识数模转换的频谱和时间的关系。 （1）理想滤波的角度 数模转换器可看作是一个系统，不管系统是模拟的还是数字的，它们的输入和输出都可用卷积来描述，即 其h(t)和h(n)是模拟和数字系统的单位脉冲响应。,由于数模转换器的输入是x(n)，输出是y(t)；为了方便用卷积来描述数模转换的工作，假设x(n)对应采样信号xs(t)，将xs(t)作为数模转换器的输入；这么安排后，数模转换器的输出为 其h(t)是数模转换器的单位脉冲响应。 时域系统和频域系统的关系可用卷积定理来描述。 卷积定理有模拟系统的卷积定理和数字系统的卷积定理，即,(4.17),它们的本质都是：信号的时域卷积对应频域乘积
