数字信号处理杨毅明电子课件2014版第6章节数字滤波的原理

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1、信号分析是信号处理的一个重要内容。通过信号分析，我们可以了解信号的成分以及信号之间的关系。知道信号的成分，我们就知道如何更好地发挥它们的作用，达到高效通信的目的，例如减少传输或存储的比特。 6.1 数字滤波器的概念 用数字信号处理器对信号滤波的方法是：用数字计算机对数字信号进行处理，处理就是按照预先编制的程序进行计算。处理数字信号频谱的系统俗称数字滤波器。,第6章 数字滤波的原理,数字滤波器的原理如图6.2所示，它的核心是数字信号处理器。 数字滤波器的工作是按电路设计或程序来计算信号，达到调整信号频谱的目。通过对数字滤波器的存储器编写程序，可灵活地实现各种滤波功能。 对数字滤波器来说，增加功能

2、就是增加程序，不用增加元件，不受元件误差的影响。特别是，对低频信号的处理不必像模拟电路那样，还要增加电路的体积（为什么？）。用数字滤波的方法，可以摆脱模拟滤波器被元件限制的困扰。,图6.2,模拟滤波器频率特性H()的角频率或自然频率f范围从0到。四种典型模拟滤波器的幅频特性为 数字滤波器的频率特性H()具有周期性，一般以数字角频率的主值区间0, 2)的特性为基准，四种典型数字滤波器的幅频特性为 其的最低频率在0，最高频率在。 的高频与的高频没有对应关系。为什么？,图6.3,图6.4,为了提高研究效率，就要利用频谱H()的周期性和对称性。根据频谱的周期性，=0或=2附近的频谱对应低频成分。根据实

3、数序列的偶对称性质，在0, 2范围，|H()|对于=呈现偶对称，如图6.4所示。所以，我们只用考虑在0, 范围的幅频特性。 典型滤波器是理想模型，其频谱简单又直观。对于实际的电路或系统，这种理想滤波器是做不出来的，这点在公式(4.19)和(4.20)中已经证明。人们在设计滤波器时，只是以理想滤波器为模型，尽量地逼近理想滤波器。 但是，逼近理想滤波器需要付出代价，性能越接近理想滤波器的系统，其复杂程度和成本就越高。 全面地考虑滤波器的性能，就要建立这方面的基本概念和标准。,6.2 数字滤波器的指标 实际滤波器的通带和阻带都允许有误差，在通带和阻带之间可以有一定的过渡。 数字滤波器比模拟滤波器做得

4、更好，相应地，数字滤波器的技术指标也较高。 模拟滤波器常用的技术指标是半功率点截止频率c，半功率点是指角频率=c时，滤波器的幅度平方等于其最大值的1/2。 数字滤波器常用的技术指标有四个：通带截止频率、通带最大衰减、阻带截止频率和阻带最小衰减。下面以低通滤波器为例，介绍这四个指标。,p是通带截止频率，p是通带允许的偏差，简称通带波动，=0p是通带的范围；s是阻带截止频率，s是阻带允许的偏差，简称阻带波动，=s是阻带的范围；=ps的区间称过渡带。 如果通带波动p和阻带波动s用分贝的衰减函数表示的话，则叫做通带衰减和阻带衰减，用符号Ap和,图6.5,和As表示。通带衰减和阻带衰减的定义是 如果幅频

5、特性的最大值|H()|max=1的话，则通带衰减和阻带衰减的定义可简化为 当频率响应H()的幅度降到其最大值的 ，对应的角频率c叫做3dB截止频率或半功率点截止频率。,(6.2),(6.3),6.3 数字滤波器的研究方法 数字滤波器的研究方法很多，它们从不同的方面反映滤波器的滤波原理和设计技巧，各有所长。 6.3.1 数字滤波器的表示 表示数字滤波器的方法有：系统函数、频率响应、差分方程、单位脉冲响应、卷积、零极点图、框图、算法、信号流图等，它们能从不同的角度描述和刻画滤波器的特性和处理方法。 6.3.2 信号流图与系统函数 信号流图的点叫节点，节点既表示系统的状态变量，又表示进入节点的信号相

6、加；有方向的线段叫支路，支路的箭头表示信号的流向和加权。,完整的信号流图有两个特殊的节点源点和终点。源点没有输入，终点没有输出。 简单的信号流图，通过观察就能写出其差分方程或系统函数。例如图6.12，它的差分方程通过观察就能得到，下面是它的状态变量和输出的差分方程 但直接写出它的输入输出差分方程或系统函数就不那,图6.12,(6.27),么容易。为了得到输出与输入关系的差分方程，可将方程组 的w1(n)式w2(n)式，得 再将w2(n)式y(n)式，就得到输入输出关系的差分方程，即,(6.27),对输入输出差分方程求z变换，就可得信号流图的系统函数 对于复杂的信号流图，通过观察，写出它的方程不

7、是一件容易的事。利用梅森公式能够解决这个问题。梅森公式是这样定义的，流图的系统函数 Tk是第k条前向通路的增益，也就是从源点到终点的每段支路的加权值的乘积；是流图的特征式， 其La等于所有回路增益La之和，LbLc等于所有两个,(6.28),(6.29),(6.30),无接触的回路增益乘积之和，LdLeLf等于所有三个无接触的回路增益乘积之和；k是第k条前向通路的特征式的余因子，也就是消除与第k条前向通路接触的回路后剩下的特征式。 例题6.1 正弦波发生器的原理可用信号流图描述，如图6.13所示。 请你利用梅森公式，写出该信号流图的系统函数。,图6.13,解 图6.13的闭合回路有三个，其中两

8、个是不接触的。按照公式(6.30)，该流图的特征式 从源点到终点的前向通路只有一条，它的通路增益T1=rsinz-1。由于三个回路都跟这条前向通路接触，所以这条前向通路的特征式余因子1=1。按照梅森公式(6.29)计算，该流图的系统函数 若该题用直接观察的方法，是不易获得系统函数的。,(6.34),(6.35),32节,6.4 数字滤波器的分类 按脉冲响应的长度来分，数字滤波器分为两类：一类是无限长脉冲响应滤波器，简称IIR滤波器，另一类是有限长脉冲响应滤波器，简称FIR滤波器。 无限长脉冲响应滤波器的系统函数是 用差分方程表示IIR滤波器时，它的表达式为 N表示系统的阶。由于这种系统存在输出

9、延时项，延,(6.38),(6.39),时项相当于反馈，它使过去的输出影响现在的输出。 有限长脉冲响应滤波器的系统函数是 用差分方程表示FIR滤波器时，它的表达式为 M表示系统的阶。由于这种系统没有输出延时项，所以，这种滤波器的输出仅仅与输入有关系。当输入x(n)停止后，经过M点时序后，系统的输出y(n)也将停止。,(6.41),(6.42),例题6.3 有两个滤波器的信号流图，如图6.17所 示，请分析它们各属于哪种类型的滤波器，并指出它们的阶数。 解 （1）左流图 它除了一条从源点x(n)流向终点y(n)的前向通路外，还有两条朝x(n)方向的后向通路，后向通路产生反馈，所以该流图是无限脉冲

10、响应滤波器。运用梅森公式(6.29)，得该滤波器的系统函数,图6.17,由于它的N=2，所以，它是2阶的IIR滤波器。 （2）右流图 右流图有三条前向通路，不存在反馈回路，所以，该流图是有限脉冲响应滤波器。它的流图结构很简单，直接观察就可以写出差分方程， 由于它的M=1，所以，它是1阶的FIR滤波器，滤波器的长度等于2。,(6.43),(6.44),6.5 数字滤波器的结构 为了经济、快速地解决设计问题，我们应了解滤波器的运算关系，这里称它为结构。从流图来看，就是流图的网络结构。 6.5.1 无限脉冲响应滤波器的结构 无限脉冲响应滤波器有三种基本结构：直接型、级联型和并联型。为了方便讨论流图的

11、网络结构，这里暂时令差分方程的输入、输出延时量相等，即M=N，那么其系统的输出,(6.46),（1）直接型 直接型是按差分方程直接画出来的信号流图，它分为直接1型和直接2型。例如 该式表示，当前的输出等于各时刻的输入和过去的输出相加，这个特点容易用信号流图直接表示，如图6.18所示，这种结构称为直接1型。,(6.47),图6.18,运用串联元件可以互换位置的原理，直接1型的前后两部分流图可以调换位置，如下图。 调换位置后的节点c和d是等价的，其下面的节点也是，可以合并，如图6.19所示，这种结构称为直接2型。,图6.19,从结构来看，直接1型比直接2型更直观地表现了输入输出的关系，但直接1型的

12、延时环节比直接2型的多一倍，从实用的角度来讲，直接1型是不经济的。 按照直接型的信号走向就可以编写计算程序。不过，调整系统的任何一个系数，都有可能影响系统的全部零极点，导致系统的性能改变。 还有，计算机按直接型的次序计算时，计算产生的误差会在全部反馈回路中循环，考虑累积的效果，可能会引起较大的误差。 （2）级联型 级联型是多个子系统串联得到的网络结构。所谓子系统是指比较简单的网络结构，或简练的算法，比如一阶的或二阶的直接2型无限脉冲响应滤波器：,对应的流图为 它们的系数都是实数，这是因为计算机的实数计算比复数计算简单。 级联型的系统函数 其H1(z)、H2(z)、HI(z)都是子系统。级联型的

13、结构如图6.22所示，,(6.57),从数学上看，这些子系统的前后位置可以互换，不影响系统函数H(z)的性能，但是，在计算机中这么做是有差别的（为什么？）。 从结构来看，级联型的子系统Hi(z)之间的零极点互不影响，这给调整滤波器的零极点带来极大方便；而且，在计算机处理信号的计算中，后面子系统计算时产生的误差不会影响前面的子系统工作。这点优于直接型的信号处理。,图6.22,（3）并联型 并联型的网络结构采用多个子系统并排连接而成，它的系统函数 其二阶节分子的阶小于分母的阶，可以节省计算机的存储器和计算量。 并联型的结构如图6.24所示，,(6.63),从结构来看，并联型的子系统可以同时工作，它

14、们的计算结果最后再相加。这意味着，这种结构可以提高信号处理的计算速度。 还有，各子系统计算的结果在最后是相加的，加法产生的误差小于乘法产生的误差，所以，并联型产生的误差小于级联型产生的误差。,图6.24,6.6 数字滤波器的应用 数字信号处理器可以记录信号、产生信号或者变换信号。数字滤波器是数字信号处理器中的一种，它用特定的方式改变信号的频率特性，达到转换信号面貌或提取信息的目的。 实际的数字滤波器是一个多元化的系统，用这种 滤波器加工模拟信号时，首先是按采样周期T的节奏，将模拟信号xa(t)变成数字信号x(n)。 其次是数字信号x(n)进入充当数字滤波器的数字计算机中加工处理，处理的过程是按照数学公式的关,图6.33,系进行的。例如，按照输入输出差分方程 它的运算特点是各种输入的加权bmx(n-m)和减各种输出的加权ary(n-r)和，其信号的延时是由存储器来实现的。 整个滤波过程，都是由乘法、加法、延时等三种基本运算组成，只要数字计算机不停地运算，就能达到我们希望的数字效果；最后，达到要求的数字信号y(n)按照采样周期T的节奏，还原为模拟信号ya(t)。 在开发和设计数字滤波器产品时，最具有挑战性的往往不是硬件的设计，而是软件的开发。,(6.75),33节,