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1、第六章 IIR数字滤波器设计,数字滤波： 对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率成分以较高的保真度通过，滤除（阻止）某些无用的频率成分，实现对输入信号的选频处理。 优点： 处理精度高，稳定性好，体积小，实现方法灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。,滤波器分类,经典滤波器（一般滤波器）（本书介绍） 线性系统构成的滤波器，信号和干扰的频带互不重叠时采用。 分类（功能）：高通、低通、带通、带阻； 分类（结构）：递归系统、非递归系统； 分类（实现方法）：无限长单位脉冲响应数字滤波器IIR（本章介绍） 有限长单位脉冲响应数字滤波器FIR 现代滤波器 随机信号统计理
2、论为基础构成的滤波器，信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）,IIR数字滤波器的设计方法,间接设计法 根据设计指标设计相应的过渡模拟滤波器 将过渡模拟滤波器转换成数字滤波器。 直接设计法 在时域或频域直接设计数字滤波器。,本章主要讲述：（间接法）,6.1 模拟滤波器设计,6.2 IIR数字滤波器设计,6.1 模拟滤波器设计,模拟滤波器（AF）的一般设计过程： （1） 根据信号处理要求确定设计指标（选频） （2） 选择滤波器类型 （3） 计算滤波器阶数 （4） 通过查表或计算确定滤波器系统函数 （5） 综合实现并调试 幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减,
3、而相频特性体现的是不同成分在时间的的延时。 选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。 对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。,返回,本节主要讲述：,6.1.1 模拟滤波器设计指标,6.1.2 巴特沃思模拟低通滤波器设计,6.1.3 切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计,6.1.4 椭圆滤波器,6.1.5 贝塞尔（Bessel）滤波器设计,6.1.7 五种类型模拟滤波器的比较,返回,6.1.8 频率变换与高通、带通及带阻滤波器设计,6.1.1 模拟滤波器设计指标,图6.1.1 典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标描述,返回,回到本节,通带边界频率， 阻带边界频率， 3db截止频率
4、 系统通带的误差要求 阻带s, 幅度以最大误差1/A逼近于零，即要求 ：通带波纹幅度参数 A： 阻带波纹幅度参数,设计指标,返回,回到本节,用 表示通带最大衰减（或称为通带峰值波纹） 用 表示阻带最小衰减（以分贝(dB)表示波纹）,求解,返回,回到本节,损耗函数（或称为衰减函数）()来描述滤波器的幅频响应特性。即 当时 的边界频率称为3dB截止频率，通常用c表示，,返回,回到本节,两个附加参数： a.过渡比或选择性参数,通常用k表示 反应过渡带的性能，过渡带越窄，k值趋近于1 低通滤波器 b.偏离参数，用k1表示 越小，通带、阻带的纹波越小,返回,回到本节,模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和
5、设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择。 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 典型滤波器 巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性； 切比雪夫（Chebyshev）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波动，可提高选择性； 贝塞尔（Bessel）滤波器：通带内较好的线性相位； 椭圆（Ellipse）滤波器：较好的线性相位。,返回,回到本节,6.1.2 巴特沃思模拟低通滤波器设计,N 阶巴特沃思模拟低通滤波器的幅度平方函数为 N为滤波器的阶次， 为3dB截频。,返回,回到本节,特点： 在 点， 的n(n2N)阶导数等于零，因此滤波器在
6、点具有最大平坦幅度 滤波器幅频响应随 的增大而单调下降，因为幅度平方函数的导数小于零 损耗函数,返回,回到本节,滤波器的特性由3dB截止频率和阶数N确定 滤波器的给定指标为 通带边界频率 阻带边界频率 通带最小幅度 阻带最大波纹,返回,回到本节,截止频率与阶数如何确定？,滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降 于是,满足通带指标，阻带指标有富裕 满足阻带指标，通带指标有富裕,阶数,截止频率,返回,回到本节,滤波器的给定指标为 通带最大衰减 阻带最小衰减 先求 确定截止频率与阶数,返回,回到本节,巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数： （由 3dB 截止频率 和阶数N 确定） 式中，分母 称为N 阶巴
7、特沃思多项式。,返回,回到本节,三种形式:,因式分解,共轭对相乘,返回,回到本节,归一化讨论： 对于 得： 由于N较大时，计算量太大，为了方便， 归一化的N阶巴特 沃思多项式系数 已制成表格供查阅：,返回,回到本节,N：滤波器阶数- ：极点位置表示,返回,回到本节,N：滤波器阶数- ：多项式表示,返回,回到本节,N：滤波器阶数- ：共轭极点因式,返回,回到本节,去归一化,归一化,查表得,得到,返回,回到本节,低通巴特沃斯滤波器设计步骤：,由 ，求滤波器阶次N 由N查表，求出归一化极点 和归一化系统函数G(p) 令 代入G(p) ，得实际 滤波器传输函数Ha(s) 。（去归一）,返回,回到本节,
8、例： 设计模拟低通滤波器。要求幅频特性单调下降，通带边界频率fp=1 kHz，通带最大衰减p=1 dB，阻带边界频率fs=5 kHz，阻带最小衰减s=40 dB。 解:（1）根据幅频特性单调下降要求，应选择巴特沃思滤波器。 （2）计算阶数N和3 dB截止频率c。首先用求出波纹幅度参数为 再求出过渡比和偏离参数 从而得到 取整数N=4,返回,回到本节,（3）求系统函数。查表6.1.1得到归一化4阶巴特沃思多项式为 将 和c代入，得到系统函数,返回,回到本节,b,a=butter(N,wc) 改变N和wc，观看滤波器的特性,6.1.3 切比雪夫滤波器设计,两种类型： 切比雪夫型滤波器的幅频特性在通
9、带为等波纹，在阻带为单调下降。 切比雪夫型的幅频特性在阻带为等波纹，在通带为单调下降。,返回,回到本节,1.切比雪夫型滤波器,N 阶切比雪夫型模拟低通滤波器Ha(s)的幅度平方函数为 为小于1的正数，表示通带波纹幅度参数。 CN()是N阶切比雪夫多项式,返回,回到本节,b,a=cheby1(N,Rp,Wn),图6.1.4 典型切比雪夫型低通滤波器的幅频响应特性曲线,返回,回到本节,2切比雪夫型逼近,切比雪夫型模拟低通滤波器的幅频响应在通带呈现单调下降特性，而且在 =0点具有最大平坦响应，在阻带呈现等波纹特性。其幅度平方函数为,返回,回到本节,图6.1.5 典型切比雪夫型低通滤波器的幅频响应特性
10、曲线,返回,回到本节,巴特沃兹滤波器与切比雪夫滤波器特点比较： 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，在靠近截止频率处，幅度下降很多。所以为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高。 切比雪夫型滤波器的纹波在通带范围内是等幅起伏的，在靠近截止频率处，幅度下降很少。同样的通带衰减，其所需阶数N较巴特沃兹滤波器要小。,特点比较,回到本节,返回,b,a=cheby2(N,Rp,Wn),6.1.4 椭圆滤波器,(a) p =1dB, s =20dB, N=3,4,6 (b) N =4, p =1,0.1,0.05 dB, s =10,20,40dB 图6.1.6 椭圆滤波器幅频响应特性曲线,
11、返回,回到本节,椭圆滤波器振幅平方函数为： RN（，L）：雅可比椭圆函数 L：表示波纹性质的参量 椭圆滤波器特点： 幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。 对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤 波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。 通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄； 阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；,特点,回到本节,返回,z,p,k=ellipap(N,Rp,As),b,a=ellip(N,Rp,As,Wn),6.1.5 贝塞尔（Bessel）滤波器设计,(a) 幅频响应特性 (b) 相频响应特性 图6.1.7 典型贝塞尔低通滤波器的频响
12、特性曲线,返回,回到本节,贝塞尔低通滤波器特点,贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。是 巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波 器滤波器所没有的。 贝塞尔滤波器的过渡带较宽，在阶数N相同时 选择性比巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、 椭圆滤波器差。,回到本节,返回,6.1.7 模拟滤波器的比较,巴特沃思滤波器幅频特性单调下降。 切比雪夫滤波器通带内等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降。 切比雪夫滤波器阻带内等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降。 椭圆滤波器通带、阻带内均等波纹幅频特性，过渡带单调下降。 贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。 在相同阶数N，相同通带最大衰减、阻带最小衰减要求下
13、，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，介于巴特沃思滤波器和椭圆滤波器。 在相同指标要求下，椭圆滤波器所需的阶次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反。,回到本节,返回, 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约四分之三的通带上非常接近线性相 位特性；椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性； 贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性。 上面讨论了5种常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照所给指标及对滤波器阶数（阶数影响处理速度和实现的复杂性）和相位特性的具体要求，合理选用。巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤
14、波器主要是考虑逼近幅度响应指标的滤波器，其中椭圆滤波器的性能价格比最高，应用广泛。贝塞尔滤波器主要是考虑逼近线性相位特性的滤波器使用。,返回,回到本节,LT6x 几种滤波器设计设计,6.1.8 频率变换与高通、带通及 带阻滤波器设计,高通、带通及带阻滤波器的幅频特性曲线及边界频率示意图 (a)高通滤波器 (b)带通滤波器 (c)带阻滤波器,返回,回到本节,B,A=butter(N,W,high) stop,设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是: 通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的归一化低通原型滤波器指标； 设计相应的归一化低通原型系统函数G(p)； 对G(p)进行频率变换
15、得到希望设计的滤波器系统函数Hd(s)。,返回,回到本节,符号规定,归一化低通滤波器原型 边界频率 希望模拟滤波器的系统函数 频率变换公式 于是,返回,回到本节,1. 模拟高通滤波器的设计,低通原型到高通滤波器的频率变换 在虚轴上 高通滤波器通带边界频率 映射关系 低通 高通,返回,回到本节,例 设计巴特沃思模拟高通滤波器,通带边界频率为fp=4kHz，阻带边界频率为fs=1kHz，通带最大衰减为0.1dB（fp处），阻带最小衰减s=40dB。 解：高通滤波器指标 1）确定相应低通原型滤波器的指标,返回,回到本节,2)设计巴特沃斯低通滤波器。 确定阶次N： 可得N 按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,返回,回到本节,归一化的 5 阶滤波器的系统函数 3）高通滤波器的系统函数,返回,回到本节,MATLAB,wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40; %设置滤波器指标参数 N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s); %滤波器G(p)阶数N和3dB 截止频率 B,A=butter(N,wc,s); %计算低通滤波器G(p) 系统函数分子分母多项式系数
