数字信号处理课件第二章4章节

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1、2.8 系统函数,2.8.1 系统函数定义 系统函数H(z)定义为系统单位采样响应 的Z变换，即 为系统的单位采样响应。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,通过H(z)可以建立系统输入Z变换和输出Z变换之间的简单关系，可得： 从上式可以得到H(z)的一种数学求解方法，即 在z平面单位圆上计算的系统函数就是系统的频率响应，即,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.8.2 通过系统函数描述系统特性 因果系统的系统函数的收敛域是一个圆的外部，而且包括无穷远，即ROC为 Rx- Rx- Rx-1,西北大学信息科学与技术学院 2012版,根据收敛域的含义，有 对于上式，当|z|=1时， 这是

2、系统稳定的充要条件。因此，当系统 函数收敛域包括单位圆时，也说明了系统的稳 定性，反之，稳定系统的收敛域一定包含了单 位圆。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,稳定因果系统的系统函数的收敛域是一个包 含了单位圆和无穷远的区域，即ROC为 Rx- |z| 且 Rx- 1 由于收敛域内不能有极点, 所以, 稳定因果 系统的极点只能处在单位圆里。 假如系统的初始状态为零，对上式两端取Z 变换，得,西北大学信息科学与技术学院 2012版,得到 将H(z)的分子、分母进行因式分解，可采用 根的形式表示多项式，即 其中cr称为系统函数的零点；dk称为系统函 数的极点，A为比例常数。,西北大学信息科学

3、与技术学院 2012版,当所有的 时，H(z)为一 个多项式，即 此时系统的输出只与输入有关，称作MA系 统。由于系统函数只有零点（原点处的极点除 外），也称作全零点系统。系统的h(n)为： h(n)=bn n=0,1,2,M 即h(n)为有限长度序列，所以这类系统称作有限 冲击响应系统，简称FIR（finite impulse response）系统。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,当除b0=1外，其他br=0，r=1,2,N 时，有 此时，系统的输出只与当前的输入和过去的输出有关，称作AR系统。由于系统函数只有极点（原点处零点除外），也称作全极点系统。这类系统的h(n)为无限长度

4、序列，称作无限冲击响应系统，简称IIR（infinite impulse response）系统。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.8.3 通过系统函数估算频率响应 因为 所以，根据频率响应的定义，系统的频率响应为,西北大学信息科学与技术学院 2012版,其中，A为比例常数，差矢量 分别为 表示零点指向单位圆的矢量， 分别是 矢量的模值和相角； 表示极点指向单位圆 的矢量， 分别是矢量的模值和相角。当 频率变化时，分别考察这两个矢量的幅度和 相位变化，可以得到系统的幅频响应和相频 响应。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,它们之间的关系为 当 在 0 2 内变化时，相当于单位

5、圆矢量逆时针旋转，当极点靠近单位圆时，幅频响应在极点所在频率处会出现峰值，极点靠单位圆越近，峰值越尖锐；当零点靠近单位圆时，零点处的幅频响应会出现谷底，越靠近单位圆，谷底越深；当零点处在单位圆上时，幅频响应为零。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,例2.10 分析延时单元 ，估算系 统的频率响应。 解 延时单元的系统函数为 H(z)无零点，极点为z=0，所以极点到单位圆的差矢量的幅度 恒为1，相角 等于-，可得 显然，这是一个线性相位的全通系统。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,例2.11 一个二阶系统的系统函数为 估计该系统的频率响应，并判断系统的滤波特性。 解 一对复数共轭极

6、点为,西北大学信息科学与技术学院 2012版,一个二重零点在z=0处，所以， 可得 可以判断该系统具有带通滤波特性。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.9 系统的信号流图,一个线性非时变（LTI）系统可以用以下差分方程表示： 系统函数为 当系统给定时，采用信号流图可以表示系统参数和信号之间的运算方式，即系统的实现结构。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.9.1 信号流图的表示 离散时间系统一般包含3种基本单元：加法器、乘法器和延时单元，任何一个复杂的DSP系统都可以分解成这3种基本单元，图2.7是它们的流图常用符号。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.7 流图常

7、用符号,例如，一个二阶系统的系统函数为 差分方程为 用乘法、加法和延时单元实现上述运算，系 统的流图可以表示图2.8。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.8 二阶数字系统信号流图表示,2.9.2 信号流图的转置定理 定理 将信号流图中的所有支路反向，输入和输出互换，则系统函数不变。 例如，图2.9是一个系统流图，从流图写出它的差分方程和系统函数分别为,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.9 系统流图,按转置定理得到第二个流图如图2.10所示， 可写出相同的差分方程和系统函数分别 为,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.10

8、 图2.9按转置定理得到系统流图,2.9.3 无限冲击响应（IIR） 系统的网络结构 1.直接型 IIR系统的系统函数可以写成两部分： 先实现系统 ，然后实现系统 ，得到一 种流图如图2.11所示。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.11 IIR系统的流图1,若先实现系统 ，然后实现系统 ，得到另一种流图，如图2.12所示。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.12 IIR系统的流图2,在这种流图中，两条延迟支路源于同一点，相同延迟点可以合二为一，这样可以节约延迟环节，图2.13是合并了延迟单元的流图。,西北大学信息科学与技术学院

9、2012版,图2.13 合并了延迟单元的流图,以上这些流图都表示同一个系统，都 是由系统函数的多项式直接得到的，因此， 称为直接型结构，图2.11称为直接1型，图 2.12称为直接2型。直接型结构的优点是可 从差分方程或原始的系统函数直接得到，缺 点是系统系数对系统的性能影响较大。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.级联型 将系统函数的分子和分母多项式进行分 解，可得 也可写成实系数的形式：,西北大学信息科学与技术学院 2012版,当N为奇数，多出一个一阶系统 ， 将 H(z)表示成多个二阶网络和一阶网络的级联 （采用直接2型实现一、二阶基本网络），可以 得到系统的级联型结构，如图2

10、.14所示,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.14 系统的级联型结构图,3.并联型 将H(z)进行部分分式展开，可得到并联型 结构： 采用直接2型实现，得到系统的并联型结构 图2.15所示。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.15 IIR 系统并联型网络,4.转置型,例2.12 设IIR数字滤波器差分方程为 试用四种基本结构实现此差分方程。 解 对差分方程两边取z变换，得系统函数,西北大学信息科学与技术学院 2012版,得直接1型结构： 得直接2型结构：,西北大学信息科学与技术学院 2012版,将H(z)因式分解： 得级联型结构：

11、,西北大学信息科学与技术学院 2012版,将H(z)部分分式分解： 得并联型结构：,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.9.4 有限冲击响应 ( FIR ) 系统的网络结构 FIR系统的特点是单位采样响应是有限长 的，网络结构没有反馈支路，一个N阶FIR系统 的系统函数和差分方程分别为 H(z)有N个零点，通过N个零点的不同分布来实现FIR 系统不同的性能。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,1.直接型 按照H(z)或差分方程直接画出网络结构就是 直接型结构，如下图所示。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.级联型 将H(z)进行因式分解，得到实系数的二阶和 一阶系统的表

12、达式和级联结构： 如图是相应的级联型结构,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.9.5 方框图的表示,系统网络结构的另一种较为直观的表示方式为方框图表示，用方框图表示由以下几个好处： （1）通过观察可以很容易写出算法，（2）通过分析方框图可以容易地确定出数字滤波器的输出和输入之间的明确关系，（3）可以很容易地调整某个框图来得到不同算法的“等效“框图，（4）可以很容易地确定硬件的需求，（5）可以较容易地从系统函数所生成的框图表示直接得到多种“等效”表示。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,首先，我们介绍一下基本的运算单元，他们分别包括加法器、乘法器、延迟单元和输出节点。如图2.29所

13、示： 图2.29 方框图常用基本单元,西北大学信息科学与技术学院 2012版,图2.30 一阶线性是不变数字滤波器的方框图,西北大学信息科学与技术学院 2012年,2.9.6 方框图的等效,这节中，我们的主要目的是对给定系统函数的数字滤波器做不同的实现，如果两个滤波器有着相同的系统函数，那么我们就认为它们的结构是等效的。但是，我们知道有一种相当简单的等效的方法就是对其进行转置运算：（1）倒转所有路径，（2）把网络节点转换成加法器，把加法器转换成网络节点，（3）交换输入和输出节点。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.9.7 无限冲击响应（IIR） 系统的网络结构 因果无线冲激响应数字滤

14、波器用如下的有理系 统函数来描述，或者是用长差分系数差分方程 来表示。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,从差分方程的表达式可以看出，要计算第n个输出样本，就需要知道输出序列的一些前面的样本，换句话就是说，因果无线冲激响应数字滤波器的实现需要一定形式的反馈。在这里，我们列出一些IIR滤波器的简单且直接的实现。,西北大学信息科学与技术学院 2012年,1.直接型 N阶IIR数字滤波器的系统函数是用2N+1个不同的系统描述的，并且通常需要2N+1个乘法器和2N个两输入加法器来实现。我们现在具体描述这些结构的生成。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.级联实现,西北大学信息科学与技术学

15、院 2012版,3.并联实现,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.9.8 有限冲击响应 ( FIR ) 系统的网络结构,我们首先考虑有限冲激响应数字滤波器的实现。N阶因果有限冲激响应滤波器可以用系统函数H(z) 来描述 1.直接型,西北大学信息科学与技术学院 2012版,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.级联型,2.10 离散时间信号与系统的Matlab表示,2.10.1 离散时间信号的表示和运算 1、基本序列的Matlab表示 单位采样序列 单位阶跃序列 矩形序列 实指数序列 复指数序列 正弦序列 2、基本序列运算的Matlab表示 序列相加 序列相乘 序列反转 序列移位,西北大学信息科学与技术学院 2012版,2.10.2 离散时间信号的频域变换 1、Matlab实现离散时间傅里叶变换（DTFT） 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）由于频率 为连续实数变量，所以严格的讲其在Matlab下是 无法实现的，但是为了说明DTFT在Matlab下的 运算过程，这里将其频率变量设置为频率向量 ，只计算频率向量指定的有限个频 率点上的频谱结果。,西北大学信息科学与技术学院 2012版,设序列 , , 则