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1、5.1 引言 5.2 牛顿柯特斯公式 5.3 复化求积公式 5.4 龙贝格求积公式,第五章 数值积分和数值微分,5.1 引言 我们知道,若函数f(x)在区间a,b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式,求得定积分,求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：,(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为
2、力了,(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 表 达式不太复杂， 但积分后其表达式却很复杂。,积分后其原函数F(x)为：,例如函数,(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见, 通过原函数来计算定积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分
3、是本章讨论数值积分的主要内容。,一、数值积分的基本思想 积分值 在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x),左矩形公式,右矩形公式,中矩形公式,梯形公式,Simpson公式,回顾我们高等数学所学定积分的求取,二、代数精度的概念,即满足,如梯形公式,所以梯形公式具有1次代数精度,将 代入公式,三、插值型求积公式,四、求积公式的收敛性和稳定性,一、Cotes系数,5.2 牛顿柯特斯公式,Newton-Cotes公式,当 时,由,得求积公式,就是将区间a,b一等分,梯形公式,通常记为,当
4、时,此时，求积公式为,Simpson求积公式,当 时可得,同理,此时，求积公式为,Cotes求积公式,Cotes系数表,当n = 8时，出现了负系数,1、考虑Simpson公式,二、 Newton-Cotes公式的代数精度及误差,Simpson公式具有三次代数精度,而,定理 n为偶数时求积公式,至少具有n+1次代数精度。,2、误差分析,以梯形公式误差为例,因为,保号且可积，由积分中值定理得,所以,同理,误差取决于区间a,b的长度。,由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n8时的牛顿柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分
5、析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。,5.3 复化求积公式,复化求积公式可以克服高次Newton-Cotes公式计算不稳定的问题, 运算简单且易于在计算机上实现。,把积分区间a, b平均分成若干小区间xk , xk+1,复化求积法的基本思想,第一步，在每个小区间上采用次数不高的Newton-Cote
6、s求积公式，如梯形公式或Simpson公式；,第二步，对每个区间的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值。,如此得到的求积公式称为复化求积公式。,一、复化梯形公式,二、复化辛普森公式,误差分析,一、梯形法的递推化逐次分半法,上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的 实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止,设将求积区间a，b分成n等分，则一共有n+1个
7、分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们来考察二分前后两个积分值之间的联系,5.4 龙贝格求积公式,逐次分半计算方案的实现:,注意到每个子区间xk，xk+1经过二分只增加了一个分点 xk+1/2( xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为,这里 代表二分前后的步长.将每个子区间上的积分值相加得,当把积分区间分成n等份，用复化梯形 公式计算积分I的近似值 时，截断误差为,若把区间再分半为2n等份，计算出定积分 的近似值 ，则截断误差为,当 在区间a,b上变化不大时,有,所以,可见,当步长二分后误差将减至 ,将
8、上式移项整理，可得验后误差估计式,上式说明，只要二等份前后两个积分值 和 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使 接近于积分值I。,这样不断二分下去，计算结果如下表所示。积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果。,二分次数,区间个数数,二、龙贝格算法 变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。龙贝格公式又称逐次分半加速法。 根据积分区间分成n等份和2n等份时的误差估计式可得,所以积分值 的误差大致等于 ,如果用 对 进行修正时， 与 之和比 更接近积分真值,所以可以将 看成是
9、对 误差的一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子.,(6.9),考察 与n等份辛卜生公式 之间的关系。将 复化梯形公式,梯形变步长公式,故,这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 和 作线性组合，结果却得到复化辛卜生公式计算得到 的积分值 。,代入 表达式得,再考察辛卜生法。其截断误差与 成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至 ，即有,由此可得,可以验证,上式右端的值其实等于Cn，就是说，用辛卜生公式二等份前后的两个积分值Sn和S2n 作线性组合后，可得到柯特斯公式求得的积分值Cn，即有,用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式,在变步长的过程中运用上述误差公式，就能将粗
10、糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛卜生值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn ，或者说将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法称为龙贝格算法（龙贝格公式）。,三、龙贝格求积法算法实现 （1） 龙贝格求积法计算步骤 用梯形公式计算积分近似值 按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半,令区间长度,计算, 按加速公式求加速值,梯形加速公式：,辛卜生加速公式：,龙贝格求积公式：, 精度控制；直到相邻两次积分值,（其中为允许的误差限）则终止计算并取Rn 作为积分 的近似值，否则将区间再对分，重复 ， 的计算，直到满足精度要求为止。,(2) 龙贝格求积法流程图留给读者 (3) 程序实现,龙贝格求积算法可用下表来表示：,例2 用龙贝格算法计算定积分 要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过 解:由题意,由于 ，于是有,
