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1、数值分析,教 师：崔学慧 EMAIL: OFFICE：基础楼302 PHONE(O)：89731767,数值分析绪论,一、数值分析的特点,数值分析实际上就是介绍在计算机上解决数学问题的数值计算方法及其理论。这门课程又称为数值计算方法.,求数学问题的数值解称为数值问题.,假设条件： （1）研究区为一半无限长水平的多孔介质，介质均质、 各向同性（即假定污染物在区域有右端没有排泄掉）； （2）流场为均匀等速流场，地下水实际水流速度为V （常数）； （3）初始时刻，研究区中无背景污染物； （4）在研究区左端连续注入浓度为C0的废水，废水中的 污染物不发生吸附解吸和衰变； （5）对流弥散是一维的。,向
2、含水层定浓度注入污染物一维迁移模型,基于以上假设，定浓度注入污染物一维迁移的数学物理方程为：,方程的解为：,一、数值分析的特点,计算机,硬件,软件,功能 算术与逻辑运算,核心算法,数值算法 非数值算法,计算机硬件的特点是快.软件就是利用计算机高速的简单运算去实现各种复杂的功能。,一、数值分析的特点,在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。,一、数值分析的特点,数值分析这门课具有以下几个特点：,(1)数值分析是一门与计算机应用密切
3、结合的 实用性很强的学科；,(2)数值分析这门课程即要讨论连续变量问题又 要讨论离散变量问题，关心的是数值结果；,(3)计算数学已成为近代数学的一个重要分支，专门研究 数学问题的数值解法。数值分析这门课程是计算数学 的基础.,思维方法是归纳法，核心问题是“误差”,计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学, 计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等,科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。,现代科学的三个组成部分: 科学理论,科学实验,科学计算,一、数值分析的特点,二、数值分析的内容,误差分析,线性代数方程组的数值解法,非线性方程组的数值解法,数值积分
4、与数值微分,连续函数的最佳逼近,插值与拟合,常微分方程的数值解法,最小二乘问题的数值解法,代数特征值问题,矩阵分解,学习重点:,3. 数值方法的计算机实现（计算机实习）,1. 构造数值方法的原理（支撑理论）,2. 评价数值方法的好坏 （研究数值方法的性态、可靠性、效率）,迭代法,以直代曲,化整为零,外推法,本课程的基本目的，是使学生通过学习和实验，初步建立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本概念，为进一步深入的学习打下坚实的基础。,要掌握高级编程语言: FORTRAN, C ， Matlab,Matlab几个显著特点 1 用Matlab处理矩阵容易 2 用Matlab绘图轻松 用Matl
5、ab编程简洁 Matlab具有丰富的工具箱,内容多，任务重，难度大！,考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%， 期末考试占总成绩的70%，闭卷考试。,作业要求： 每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。,三、基本要求,第三节 常用数学软件工具,第一节 数值算法,第一章 数值计算与误差分析,第二节 数值计算的误差分析,第一节 数值算法,算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。,评价算法的两个主要标准：速度和精度,一个面向计算机,计算复杂性好,又有可靠 理论分析的算法就是一个好算法.,计
6、算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性,时间复杂性即计算量：一个算法所需四则运算总次数. 一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop.,空间复杂性即存储量,第一节 数值算法,(输入x, 输出y）,例1 计算,存储量=4,需乘法5次，加法3次，存储单元7个。,需乘法3次，加法3次，存储单元6个。,一般地，计算n次多项式的值,算法2、秦九韶算法1247 (又称为Horner算法1819),需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。,有递推公式,算法1、需乘法2n-1次，加法n次，存储单元n+4个。,算法1 (输入a(i)(i=0,1，,n),x;输出y）,注意,其原理为,算法2 （秦九韶算法） (输入
7、a(i)(i=0,1，,n),x;输出y）,注意,a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n . . . am1 am2 am3 amn,b11 b12 b13 b1s b21 b22 b23 b2s . . . bn1 bn2 bn3 bns,=cijms,A B 的计算量为N= (m n s )flop,A,B,例3 矩阵乘积AB的计算量分析,例4 ：求解n元线性方程组 a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1 (1) an1+an2x2+ +annxn=bn,由线性方程组的克莱姆(Cramer)规则可知,如果方程组(1)的系数矩阵A的行列式(一般记为D=|A|)不
8、等于零,那末,这个方程组有唯一解,而且它们可以表示为 xi=Di/D (i=1,n) 这里,Di是指D中第i列元素用右端（b1, bn）代替构成的行列式。,Ax=b A可逆,克莱姆算法步骤,N=(n2-1)n!+nflop,n=20, N= 9.7071020 flop,用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节：,实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。,数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的数值结果。,第二节 数值计算的误差分析,一、误差的来源,1、数学模型,数学模型是通过科学实验或者观察分析一系
9、列数据后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表达式。,在数学模型中，往往包含了若干参量如物体比重、阻力系数、热交换系数等，这些物理参数通常由实验仪器测得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定的误差。,一、误差的来源,1、数学模型,一、误差的来源,2、四种误差,模型误差 数学模型与实际问题之间出现的这种误 差称为模型误差。在例1中， 就是模型误差。,2、四种误差,舍入误差 用计算机计算，由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差称为舍入误差。在例2中的用4位浮点机计算 所产生的误差 就是舍入误差。,例1：(截断误差),解：利用展开式的前三项，取n=2，,截断误差,二、截
10、断误差分析,二、截断误差分析,例1：舍入误差,设在一台虚构的4位数字的计算机上计算,舍入误差为 0.000472,例2：考虑Matlab简单程序 format long x=4/3-1 y=3*x z=1-y,三、舍入误差分析,舍入误差对计算结果影响很大,例4：考虑Matlab程序 x=0.988:0.0001:1.012; y=x.7-7*x.6+21* x.5-35* x.4+35* x.3-21* x.2+7* x -1; plot(x, y),在实数系中，每一个实数可以有无穷位，不同的 实数代表数轴上不同的点；,在计算机数系中，每一个数只有有限位，只有部分 有理数能被计算机数系中的数精
11、确表示。,浮点数：,36.83=0.3683102=0.03683103,这种允许小数点位置浮动的表示法称为数的 浮点形式。,实数x的十进制浮点形式为 x= 0.a1 a2. ak 10c,尾数,阶码,ai0,1,2,9, cZ,基数,a10, (1)称为x 的 规格化的浮点形式,(1),1、计算机数系,x的k位十进制机器数fl(x)可用两种方法定义： （1）截断式 fl(x)= 0. a1 a2. ak 10c,x= 0. a1a2akak+1 10c,(2)四舍五入式,x 的k位规格化十进制机器数 y= 0. a1 a2. ak10c, y=fl(x) ai0,1,2,9, a10，Lc
12、U, k是机器数的字长； L、U 是常数。,一般数制情况： k位规格化机器数 y= 0. a1 a2. akc , =2,8,10,16, ai0,1,2, -1, Lc U,a10,F(,k.L,U)表示以上数集全体加数0，它是计算机中使用的有限离散数集(机器数系）。,F(,k,L,U)中的数称为机器数。,F(10,4,-33,33)， y= 0.a1a2a3a410c,例5 在机器数系 F(10,4,-33,33)中表示 fl().,若浮点数的阶码不在L,U内，则出现上溢或下溢。,采用截断式 fl( )=0.314110 采用四舍五入式 fl( )=0.314210,但是,例如 在4位机器
13、数系 F(10,4,-33,33)中输入 出现下溢，输入 出现上溢。,2、绝对误差和相对误差 定义： 设数a是精确值，x是a的一个近似值，记,例6 已知准确值a=3.1415926是一个无限不循环小数，求截取不同位数后的近似值和误差界。,解：,3、有效数字,例7: 以下近似数是经四舍五入得到的 x1=0.12, x2=0.120, x3=1.73, x4=0.00073, x5=73000 x6=0.73*103 问它们分别有几位有效数字?,解： x1=0.12有2位有效数字, x2=0.120, 有3位有效数字。,x3=1.73有3位有效数字, x4=0.00073有2位有效数字。,x5=7
14、3000有5位有效数字， x6=0.73*103有2位有效数字。,例:考虑 1.x =11, a=10 , e=1, er=0.1 2. x =1001, a=1000, e=1, er=0.001 3. x =1100, a =1000, e=100, er=0.1,当某个量的准确值很小或很大时，相对误差比绝对 误差更能反映准确数与近似数的差异。,一个近似值的准确程度，不仅与绝对误差的大小有关，而且与准确值本身的大小有关。,例8：设计算机数系为F(10,t,L,U),将实数 x=0.a1a2atat+110c,(a10),用四舍五入法表为机 器数fl(x);求其有效数字、绝对误差限、相对误差
15、限。,解：,相对误差为,绝对误差为：,机器数的相对误差与x无关，只与字长t有关。 定义 eps=0.510-t+1为机器精度。,fl(x)有t位有效数字。,注： （1）在数值计算中，尽可能多地保留近似数 的有效数字，有效数字越多， 相对误差越小， 计算结果越精确。,（2）对IEEE国际通用标准双精度数系 机器精度 Eps=2.2204e-16 最小实数 Realmin=2.2251e-308 最大实数 Realmin=1.7977e+308,(1) 加减法先对阶,后运算,再舍入 fl(x) fl (y)= fl (fl(x) fl (y),例9:在F(10,4,-33,33)的计算机上计算1+ 104 解: 1+ 104 =0.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105 (对阶，靠高阶) = 0.10001 105 = 0.1000 105 = 104,(2)乘除法先运算,再舍入 fl (x) fl (y)= fl (fl(x) f
