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1、制作人：南平187寝室,2.3 可测函数,制作人：南平187寝室,广义实函数：形如f：X 的映射，其中 = R .不过f取值 有其方便之处，但是也可能引起麻烦. 注意： 但是 等依然被认为是无意义的。, ,制作人：南平187寝室,而且，此处的正无穷和微积分学中的“无穷大量”不能混为一谈，后者的 是变量，而此处 是广义实数！ 在R中定义的序关系 ，上确界，序列极限及无穷级数等概念，亦应作相应补充以用于出现 的情况。描述 中的极限已不可使用传统的“-语言”.但关于上极限和下极限的定义式1.1（15），（16）仍适用于 中，只是他们可能取 . 中的序列极限就定义为 ，只要上式中后一等号成立.,制作人
2、：南平187寝室,实变函数论限于考虑可测函数类，因为只有对可测函数才便于应用测度论. 用测度论研究函数f，通常需要按其函数值分解定义域X为 （ ）, 其中 .自然要求形如 的 集均可侧，而这又归于要求形如 的集可测. 定义2.3.1 设 是X上的实函数.若 ， 集X（ ）恒可测，则称 为X上的可测函数.,制作人：南平187寝室,可测函数的定义完全不涉及测度 ，仅依赖于 代数A,在必要注明A时也称为“A-可测”. 通常将测度空间当做整体看待，提到 时认定其定义域A已确定.在这个意义上，也说 为 -可测.若 （普遍使用n维Lebesgue测度），则称X上的可测函数为Lebesgue可测函数，简称可
3、测函数. 例1,制作人：南平187寝室,设f c ,则f可测，因为显然有 例2 设 则 由此可见， 可测 A可测.,制作人：南平187寝室,例3 设 是 上的增函数，则对任给 , 是一个区间或空集，因而可测.可见 是可测函数. 三个例子特殊，但是很典型.,制作人：南平187寝室,命题2.3.2 对于X上的一个实函数 ,以下诸条件互相等价； （i） ； （ii） ，集 可测； （iii） ，集 可测； （iv） ，集 与 可测； （v）任意开集 ，集 与 可测；,制作人：南平187寝室,（vii）任给闭集 ，集 与 可测； 结合2.3.2与1.5.6易得出： 推论2.3.3 设 ，则 上的连续函
4、数均可 可测，即 . 对 的实函数 ， ， ，除施行熟悉 的代数运算（如 ， ， ）外，还可以定 义以下运算：,制作人：南平187寝室,制作人：南平187寝室,二者分别称为 的正部和负部，它们满足： 容易验证,制作人：南平187寝室,命题2.3.4 设 .则 在 上均可测； 定义2.3.5 若可测函数 ： 仅取有限个值，则称 为简单函数。 约定以S(X)记X上的简单函数之全体。 任给有限个可测集 X与 R（i=1，,制作人：南平187寝室,2，n），结合例2与2.3.4知 = （7） 是一则简单函数。反之，任给 ，设 ，令 ，则 是互不相交的可测集，且 可表为式(7),此时称（7）为简单函数
5、的标准表示。对于表示式（7），在必要时总不妨设X= ，否则总可以在（7）右端加入一项 ，其中 。 若X R是一区间， 是X的互不相交的子区间，则由（7）表示的 是X上的阶梯函数。以简单函数类比于阶梯函数，不免有过于简化之嫌。,制作人：南平187寝室,不过在某种程度上，简单函数的确起类似于阶梯函数的作用。若所熟知，区间上的连续函数可用阶梯函数逼近。对于可测函数有一类似结果。 定理2.3.6 设 ,则存在一序列 ，使得 ，且 。若 ，则可要求上述的 非负且对n单调递增。 推论2.3.7 X上的实函数f为可测函数的充要条件是：存在处处收敛于f的序列 。 定理2.3.6（或推论2.3.7）对于可测函数的研究有重大意义，今后将多次。一般的思路是：若要证明某个命题P对于可测函数类（或其一部分）成立，则不妨首先证明P对简单函数成立（这通常要容易得多），然后利用2.3.7，通过一适当,制作人：南平187寝室,的极限过程过渡到一般的可测函数，以下两例题颇能说明问题。 例4 设 (参看2.3.4). 证 取序列 不难直接看出 是简单函数，且 . 以上证法显然亦可用于2.3.4中的 。,
