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1、44 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换LP_AFo-LP,HP,BP,BS四种AF）,对于模拟滤波器，早已经形成众多成熟的设计方案，如巴特沃思BW,切比雪夫CB，椭圆滤波器等,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，且已制备了大量的归一化设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便。因此，在一般模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可通过归一化低通原型LP_AFo的参数，去获得各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一整套成熟有效的设计方法，再结合前面所讨论的离散化过程应用于数字滤波器的设计，其方法如下： 原型变换 映射变换 原型变换 也可把前两步合并成一步，
2、直接从归一化模拟低通原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计.,低通原型 LP_AFo,模拟低通、高通 带通、带阻,数字低通、高 通带通、带阻,下面举例讨论应用模拟滤波器归一化低通原型LP_AFo来设计各种数字滤波器的基本原理，且着重讨论双线性BLT变换法。（冲激响应不变法不能设计高通和带阻（若不串加限制最高频率措施(预滤波)的话） 一低通变换 通过低通原型LP_AFo设计数字滤波器的五个步骤： 依据数字滤波器DF的性能要求，确定各个临界频率k 由频率关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器AF的 临界频率值k。 根据k设计出实际模拟滤波器的系统函数Ha(s) 把Ha(s)经变换关系
3、离散成 数字滤波器传递函数H(z) 。 验证关键频率点的幅值。,例1 设采样周期 T250uS，fs4kHz ,设计一个3阶巴特沃思低通数字滤波器LPDF,其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法完成。 解：a. 方法一：脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是T，是线性的，即不会引起频率轴的不均匀局部伸或缩。因而可直接把数字系统要求的fc当成模拟系统中的fc，即按c=2fc设计Ha(s)。根据上节的讨论：以截止频率归一化c 1的3阶巴特沃思滤波器的传递函数为（已知）： 将S=S/c代替其归一化频率，得实际截止频率在fc低通滤波器：,上式也可以查表得到。由手册中可
4、查出各阶次的BW巴特沃思多项式的系数或极点。整理得到Hao(s),之后以c=2fc 代替归一化频率，即s=s/c 替换原S 求得实际 Ha(s) 。这就完成了模拟滤波器的系统函数设计，但为简化运算，减小数值计算中的误差积累，通常角频率2fc 数值一直放着，直到做完S到Z平面的数字滤波器变换后，其式子确定了，才会代入具体的截止频率fc数值，最后计算出系统函数的系数。,使用脉冲响应不变法变换，需计算Ha(S)分母多项式的根，将Ha(S)改写成3个单极点部分分式结构： 对应的数字滤波器的传递函数H(z)的部分分式形式 。 有 上式的部分分式系数Ai与极点Si是：,最后将 代入，得到数字滤波器： 合并
5、上式后两项，并把数字频率c具体数值求出来： 代入，计算得：,注意这个幅度与T有关系，乘T可去掉其影响。,可见，H(z)与采样周期T有关，若T越小，H(z)的相对增益越大，这很不方便。为此，实际应用脉冲响应不变法设计时最后要稍作修改，也就是在求出H(z)后，再乘以因子T,消除T的影响，使H(z)只与c有关，即只与fc和fs的相对值fc/fs 的大小有关，而与采样频率绝对值fs无直接关系。 例如： 与 的数字滤波器将具有相同的H(z)函数，这样就可以把这一结果适用于所有的低通数字滤波器设计。 最后得：,ccT2fc/fs,b. 方法二：双线性变换BLT法 （一）首先确定数字域边界频率 （二）由于频
6、率的非线性关系，必需先确定经预畸变后的模拟滤波器AF边界频率（低频尽量保真,取C2/T）： (三 ) 以S/c 代入归一化的3阶BW型模拟滤波器传递函数： 并将 c2/T 的值代入上式。 （四）进行Ha(s)离散化求H(Z)。即用双线性变换关系代换。,在1处有3阶零点,H(z)的阶次与H(s)同样是3阶，本例因为频率点fc碰巧能够相消，最后结果才只有2阶。,图1 三阶ButterWorth型 数字滤波器的频响,脉冲响应不变法,双线性变换法,fs/2,BLT,IMP,模拟函数,阶次N,系统采样频率,畸变后c =2/T,系数,c,0,200,400,600,800,1000,1200,1400,1
7、600,1800,2000,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,频率/Hz,图3.14 三阶巴特沃思BW型数字低通滤波器的频率响应,幅 值,imp,BLT,图3.14为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法BLT，由于频率的非线性压缩变换，使接近截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率0.5fs即 处形成一个3阶零点，从H(z)可以看出。这个3阶零点正是模拟滤波器AF在 处的3阶零点通过BLT映射得到的。 因此,双线性变换法使过渡带被压缩变窄,这对频率的选择性有改善，但通带内靠近截止点的幅度会有更多衰减,而脉冲响应不变IMP法则存在高频混叠,且 H(
8、Z)表达式没有零点。,二、高通变换 HP 在设计高通HP、带通BP、带阻BS等数字滤波器DF时，通常 有两种策略可以选择： 先设计一个相应的模拟高通、带通或带阻滤波器，然后通过IMP法或BLT法转换为相对应数字滤波器DF。 模拟原型 模拟高通、带通、带阻 数字高通、带通、带阻. 这个过程同上面讨论的低通滤波器的设计类似。 即确定 转换为相应的 高通、带通、带阻 等各类模拟滤波器的设计 Ha(s) H(Z) 直接利用模拟的归一化低通模拟原型LP_AFO，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。 频率变换 模拟原型LPAFO 数字低通、高通、带通、带阻,这里只讨论第二种直接方法。因其
9、简洁，所以得到普遍采用。 对应的模拟到数字变换方法的选用： 脉冲响应不变法：对于高通、带阻等它都不能直接采用，或只 能在加了保护预滤波器后才可以。因此，使 用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响 应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用 于第一种方法中。 双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况 也是如此。 A、基于双线性变换法BLT的高通HP滤波器设计： 在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系结合于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器. 即 原来的是,推导如下：LP_AF 到 HP_AF 式中：S 模拟低通变量，c模拟低
10、通截止频率， P 模拟高通变量，c模拟高通通带频率。,c1,cc,频率关系式：cc/,LP_AF0,HPAF,低通从0到c高通对应是到c通带区域,c1时， Sc/P,LPo_AF 到 HP_DF 式中：S 模拟低通变量，c模拟低通截止频率， z 数字高通变量，c数字高通通带频率。 若取：模拟低通的截止频率c 模拟高通的通带频率c，则 低通的带宽B就高通的阻带带宽（大的）。关键点对应。 按照BLT：模拟高通 HP_AF到HP_DF的频率关系：,由于系统函数H(s)的变量S的倒数关系不会改变模拟滤波器AF的稳定性，其极点仍在左边。证明如下： H(s)B(s)/A(s);令分母多项式A(s)=0的根
11、s1ajb, 则 A(1/s)=0的根(即H(1/s)的极点)是: 它的实部性质不会变，还是与a的正负保持一致。 因此，它不会影响双线变换后的稳定条件，而且 j轴仍映射在单位圆上，只是频率大小变化方向颠倒了。即（负号的意思），C取2/T.,负号,图2 高通原型变换,模拟低通,数字高通,B、应当明确指出： 所谓高通HPDF，并不是高到 ，由于数字频域存在折叠频 率 ，对于实数响应的数字滤波器， 部分只是 的镜象部分，故有效的数字域仅是 ，HP通带仅指这一段的高端，即c延伸到 为止的部分。 高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型 的预畸的临界频率时，应采用 ,它也是颠倒的，且不必加负号
12、，因临界频率只有大小值的意义，其正负是没有实际意义的。只代表坐标的方向。,采样率 设计一个3阶切比雪夫高通DF，其通过频率 （但不必考虑 以上的频率分量），通带内损耗不大于1dB。 解：首先确定数字域截止频率 , 则 切比雪夫CB-I的低通原型的模方函数为： 为 N 阶切比雪夫多项式，当N3，可代入计算。,例2,高通频率变换式,通带损耗 时，换算 N=3时, 系统函数Ha(s)为（也可由MATLAB计算获得）：,因pT/2，为方便： 将 p和 S 都用T/2归一化， 则,图3 三阶切比雪夫CB高通频响,3阶CB就有3个峰谷值,于是离散化后有：,例5： 设计一数字高通滤波器HPDF，它的通带为4
13、00500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为 1000 Hz。先确定最小阶数 N（它对滤波器过渡带特性有非常大的影响）。 CB-I型模拟滤波器设计中，确定阶数的计算公式是： 在通带 由阻带求得最小的N：,wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);预畸变 wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000);LP原形 N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s); B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s); num,den=bilinear(B,A,1000); h,w=fr
14、eqz(num,den);画频率特性 f=w/pi*500; =2f plot(f,20*log10(abs(h);分贝表示 axis(0,500,-80,10);坐标范围 grid; xlabel(f);ylabel(幅度/dB),Wn称CB的natural Frequency就是内在固有频率,B模拟分子多项式系数(numerator) A分母多项式系数 (denominator).,为了通用起见，MATLABL的预畸变统一用双线性变换低通公式.但在程序中以参数开关HIGH实现高通与低通的区别 。,频率/Hz,CBI 型切比雪夫HP高通滤波器幅频图,幅度/dB,400Hz 0.5dB,317Hz 19dB,CBI 型切比雪夫HP高通滤波器程序,三带通变换 BP 如果数字频域上带通BP滤波器的中心频率为0 ，则模拟低通到数字带通变换的动作是将: 低通原型的负频率部分也被向右搬移了，并且分向两边。 （冲激响应若是t的实函数，幅频响应就具有虚轴对称性。） 即原点S0映射到 ，而将 点映射到 ，（，）。满足该要求的变换式为：,模拟低通,2倍阶次关系,BP的幅频
