《数值分析课件崔学慧数值分析14分段低次插值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析课件崔学慧数值分析14分段低次插值（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。,第五节 分段低次插值,我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2， ，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？,插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多
2、的插值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点.,例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子:,龙格(Runge)现象,插值多项式情况，见图:取n=6和n=10,从图中可见， P10(x)仅在区间-0.2,0.2内能较好地逼近f(x),而在其于位置, P10(x)与f(x)的值相差很大,越靠近 端点,近似的效果越差.对于等距节点,高次多项式插值发生的这种现象称为龙格现象.,chzh00.m,如 P6(0.96)=0.4233 P10(0.96)=1.80438 f(0.96)
3、=0.0416,龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。,数值稳定性 从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差.,因此实际应用中常采用分段低次插值。,因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？,定义 设f(x)是定义在a,b上的函数，在节点 a= x0 x1x2xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间xi ,
4、 xi+1(i=0,1,2,n-1)上是线性插值多项式; (2) (xi )= yi , i=0,1,2,n (3) (x)在区间a , b上连续; 则称(x)是f(x)在a ,b上的分段线性插值多项式。,1.问题的提法,分段线性插值问题的解存在唯一.,一、分段线性插值多项式,2.分段线性插值函数的表达式,由定义， (x)在每个子区间xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式;,分段线性插值曲线图：,3.分段线性插值函数的余项,注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精 度是很好的途径.,二.分段二次插值与分段三次插值,例: 在-4,4上给出等距节点函数表，若用分段二次
5、插值计算ex的近似值，要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h 应为多少?,解：设 xi-1xxi+1, 则有 xi-1=xi-h, xi+1=xi+h, x=xi+th (-1t1) 过三点 xi-1，xi，xi+1的二次插值误差为：,1.问题的提法,分段三次Hermite插值多项式存在唯一,三.分段三次Hermite插值,2.分段三次Hermite插值的表达式,3.分段三次Hermite插值的余项,定理：设f(x)在a,b上有四阶连续导数f(4)(x) ， 且| f(4)(x) | m4, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计：,四、分段低次插值的收敛性,上面介绍的分
6、段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。,习题 P195-7，8,二版习题,三版习题 P195-7，8,Lagr1.m function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; f
7、or j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end,y=lagr1(x0,y0,x): Lagrange插值。 给出n个插值节点， 计算m个插值点。,chzh00.m n=11;m=51; x=-1:2/(m-1):1; y=1./(1+25*x.2); z=0*x; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y1=lagr1(x0,y0,x); N1=6; x00=-1:2/(n1-1):1; y00=1./(1+25*x00.2); y2= lagr1(x00,y00,x); z1=-0.4:0.2:1.6; x1=0*z1; plot(x,z,k,x1,z1,k,x,y,r:,x,y1,b,x,y2,c) gtext( n=5),gtext( n=10 ), gtext(y=1./(1+25*x.2),
