实用高等数学电子教案教学课件作者吴云宗第2章函数

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1、第二章 函数,2.1 函数变量相依关系的数学模型 2.2 函数的几种简单几何性质 2.3 反函数 2.4 初等函数 2.5 经济学中的常用函数 2.6 案例讨论与数学建模,【开篇案例】,张奶奶的维权问题,第二章 函数,【学习目标】,1. 函数的概念，定义域和函数值。,2. 理解函数的主要性质。,3. 六类基本初等函数。,4. 分段函数、反函数,5. 数学模型。,第二章 函数,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,1. 函数的定义,设在某变化过程中存在两个变量x和y， 若当变量x，在某一实数范围D 内任取一个 数值时，按照一定的对应规律f，变量都有 惟一确定的值与之对应，则称变量y是定义 在数集

2、D上的变量x的函数，记作,第二章 函数,2. 函数的两个要素,函数的对应规律f 和定义域 D(f)称为函数的 两个要素。,两函数相同的充分必要条件是其定义域 D(f) 、 对应规律 f 分别相同。,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,例1 判断下列各对函数是否相同,解：两函数的定义域与值域都相同，但对应 法则不同，不是同一函数。,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,解：两函数的定义域不相同，不是同一函数。,解：两函数的定义域不相同，不是同一函数。,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,习题1 已知线段AB=a（a为常数），点C是 AB任意一点，记AC=x，则CB=a-x，以CA,CB 为邻

3、边作一矩形，试写出矩形面积y与x的函 数关系，并求出其定义域。,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,课堂练习,解：,这是求两个函数之和的定义域，其方法是先分别求出每个函数的定义域，然后求其公共部分即可,的定义域必须满足,这两个函数的定义域的公共部分是：,即,写成区间为：,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,如何求对应法则,确定的对应规律为：,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,3. 函数的表示法,（1） 表格法,（2） 图像法,（3） 公式法,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,案例 2.2 周末旅游问题,某人周末骑车到离家20 公里的海边度假，上午8点 他以12公里/小时的速度匀速

4、前进。半小时后，他发现未 带相机，便以18公里/小时 匀速速度原路返回，在家停 留10分钟，找到相机后，以 15公里/小时的匀速速度继续 前进，请用尽可能多的方法 表示此人离家的距离。,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,解：以t表示此人离开家的时间（单位：10分钟）， s表示此人离开家距离（单位：公里）， t与s的函数 可用三种方法表示如下：,（1）表格法,定义域为：D（ ）=0，14,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,（2）公式法,设s表示路程（公里），t表示时间（以10 分钟为1个单位），则s与t的关系可表示为：,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,（3）图像法,根据上述列表法及

5、公式法，很容易画出其图像,2.1 函数-变量相依关系的数学模型,2.2 函数的几种简单几何性质,1函数的奇偶性,（2）若对所有的xD ，有f(-x)= -f(x)，则称f(x)为奇函数。,设D是关于原点的对称区间，函数f(x)在区间D上有定义，,（1）若对所有的xD ，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数；,第二章 函数,2函数的单调性,设函数f(x)在区间I上有定义，对于区间内的任意两点x1x2,（1）如果总有f(x1) f(x2) ，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；区间I称为函数f(x)的单调增加区间；,（2）如果总有f(x1) f(x2) ，则称函数f(x)在区 间I上

6、是单调减少的；区间I 称为函数f(x)的单调减少区间；,2.2 函数的几种简单几何性质,3函数的周期性,设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在 不为零的正数T，使得对于任意的x+TI ， 且满足f(x+T)= f(x)，则称f(x)是周期函数， 称T是它的一个周期。,2.2 函数的几种简单几何性质,4函数的有界性,设f(x)为定义在区间D上的函数，若对 于充分大的正数M，使得对任意的xD， 总有 |f(x)|M，则f(x)称在区间D上是有 界函数，否则，称f(x)是无界函数。,2.2 函数的几种简单几何性质,2.3 反函数,定义：设已知函数y=f(x)的定义域为D(f)， 值域为Z(f)，若

7、对每一个yZ(f) ，D(f)中只有 一个x值，使得f(x)=y成立，这就以Z(f)为定义域 确定了一个函数，这个函数就称为y=f(x)函数的 反函数，记作,第二章 函数,反函数的定义域就是直接函数的值域； 反函数的值域就是直接函数的定义域；直接 函数与反函数通常称为互为反函数。,反函数的求法：,由方程 解出 ，得到 ； 将函数中的 和 分别换成 和 ，这样得 到反函数 。,反函数的性质：,2.3 反函数,2.4 初等函数,1六类基本初等函数,反三角函数,常量函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,第二章 函数,（1）常量函数,a,2.4 初等函数,（2）幂函数,2.4 初等函数,（3）指

8、数函数,且,2.4 初等函数,（4）对数函数,且,2.4 初等函数,（5）三角函数,2.4 初等函数,正弦函数,余弦函数,2.4 初等函数,正切函数,余切函数,正割函数与余割函数，它们分别是余弦函数 与正弦函数的倒数，即,2.4 初等函数,（6）反三角函数,2.4 初等函数,反正弦函数,反余弦函数,2.4 初等函数,反正切函数,反余切函数,2.4 初等函数,2初等函数,（1）复合函数,定义 2.7 已知两个函数y=f(u)，uD1， yZ1，u=Q(x)，xD2 ，uZ2，若 则称函数y=fQ(x)是由函数y=f(u)和u=Q(x)经 过复合而成的复合函数。通常称y=f(u)是外层 函数，称u

9、=Q(x)是内层函数，称u为中间变量。,2.4 初等函数,（1）,（2）,2.4 初等函数,例8 已知下列复合函数，试写出其复合过程,（1）,（2）,（3）,习题：,2.4 初等函数,（2）初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算 或有限次复合步骤所构成，且可用一个 解析式表示的函数，叫做初等函数，否 则，就是非初等函数。,2.4 初等函数,（3）显函数、隐函数及分段函数,显函数是指因变量能直接用自变量的表达 式表示出来的函数。,隐函数是指因变量与自变量的对应规则是 用一个方程 F(x,y)=0表示的函数。,分段函数是指函数在其定义域的不同范围内， 具有不同的解析表达式，在图像上表现为不同的

10、 图形。,2.4 初等函数,典型的分段函数,2.4 初等函数,2.4 初等函数,案例 怎样合理避税-10万元收入先发与后发都一样吗?,根据最新修订的中华 人民共和国个人所得税法 （修正案）规定：个人 工资，薪金所得应当缴纳 个人所得税。从2006年1月1日起，应纳税所得 额的计算为：工资，薪金所得以每月收入额减 去1600元后的余额（注：这里未考虑社会保险、 医疗保险、住房公积金），每个人纳税税率由 表所示：,2.4 初等函数,个人所得税税率表（工资，薪金所得）,2.4 初等函数,某事业单位研究员王先生是一位难得的优 秀人才，单位承诺他的年收入将不低于10万元， 王先生每月的基本工资为3000

11、元。每年，王先 生都要承担一项周期性较长的研究项目，单位 对王先生每月的工作难以量化考核，遂按每月 3000元的基本工资发放，这样连续发了11个月， 王先生仅得到3.3万元的工资收入。到第12个月， 王先生恰好把项目的所有工作做完，并通过验 收。于是，该单位按10万元最低收入的承诺一 次性发给王先生6.7万元的差额作为王先生12月 份的工资收入。结果造成王先生12月份的纳税 款额急剧升高。该单位领导认为：10万元的收 入，先发还是后发，实质是一样的，果真如此吗？,2.4 初等函数,如果该单位前11个每月先发给王先生 工资7000元，而在12月份再将另外的2.3万 元发给王先生，这样，单位发给王

12、先生的 工资总额仍为10万元，但对王先生来说， 其实际收入将大不一样，为什么？哪种发 放形式更能让王先生合理避税？,2.4 初等函数,解：设某人工资和薪金总计x元，应纳的税款y元,按照税法规定，当 元时，不必纳 税，所以，这时 ；当 元时，纳税部分是 元，税率为5%，这时 应纳的税款为 ；当 元时，其中1600元不纳税，500 应纳5%的税，即500 5%=25（元），再多的部分 即 （元）按照10%纳税，他应当交纳的 税款为： ，,2.4 初等函数,可以列出下面的函数关系：,2.4 初等函数,（1）若采用第一种方式发放,1）王先生前11个月应纳税款计算,2）王先生12月份工资应纳税款计算,2

13、.4 初等函数,（2）若采用第二种方式发放,1）王先生前11个月应纳税款计算,2）王先生12月份工资应纳税款计算,显然，第二种方式可以合理避税,6050元,2.4 初等函数,2.5 经济学中的常用函数,1单利与复利,利息，是货币的拥有者让渡货币的使用权所 获得的报酬，也叫货币的时间价值。,单利是指在存期不止一个计息周期的情况下， 计算利息的本金均按初始本金计算，这种计息方 式称为按单利计息。,复利是指在存期不止一个计息周期的情况下， 每期计算利息的本金均按上一期的本利和作为基 数，这种计息方式称为按复利计息。,第二章 函数,设有初始本金为P元，存期为n年，银行的年利率为r,（1）按单利计算利息

14、,第一年末本利和为,第二年末本利和为,第n年末本利和为,2.5 经济学中的常用函数,设有初始本金为P元，存期为n年，银行的年利率为r,（2）按复利计算利息,第一年末本利和为,第二年末本利和为,第n年末本利和为,2.5 经济学中的常用函数,2货币的现值、终值与贴现,（1）货币的现值与终值,1）按单利计算利息,第n年末的终值为,2）按复利计算利息,第n年末的终值为,2.5 经济学中的常用函数,（2）贴现,由货币的终值求现值的方法就称之为贴现。,假设在n年内，银行的存款利率为r，那么n 年后的R元钱的现值P=？,1）按单利计算：,2）按复利计算：,2.5 经济学中的常用函数,3供给函数和需求函数,需

15、求函数是指在某一特定时期内，市场上某 种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的 诸因素之间的数量关系。,供给函数是指在某一特定时期内，市场上某 种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的 诸因素之间的数量关系。,2.5 经济学中的常用函数,4成本函数、收益函数与利润函数,（1）成本函数是指商品生产者或经营者以 货币形式表现的企业生产和销售产品的全部 费用支出。,产品成本可分为固定成本和可变成本。,固定成本是在一定时期内一次投入、多次使用， 费用支出不随产量变化而变化的那部分成本。,可变成本是指随产量的变化而变化的成本。,单位产品成本称为单位平均成本。,2.5 经济学中的常用函数,（2）收益函数：销售某种产品的收入R，等于 产品的单位价格P乘以销售量x，即,（3）利润函数：将总收益减去总成本就应是总 利润L，而总成本C一般是产量x的函数，因此， 总利润一般也表现为产量x的函数，即,使L(x)=0的点x0称为盈亏平衡点（又称保本点）。,2.5 经济学中的常用函数,2.6 案例讨论与数学建模,案例 基金使用计划问题,某校基金会有一笔数额为M元 的基金，打算将其存入银行