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1、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,导数是函数随自变量变化的瞬时变化率,借助导数可研究函数的某些性质.,但每一点,的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新,的“桥梁”.,中值定理(mean value theorem),2,罗尔定理,拉格朗日中值定理,小结 思考题 作业,柯西中值定理,第一节 微分中值定理,第三章 微分中值定理与导数的应用,推广,泰勒公式(第三节),3,本节的几个定理都来源于下面的明显的,至少有,与连接此曲线两端点的弦,平行.,几何事实:,一点处的切线,有水平的切线,4,罗尔定理,(1),(2),(3),罗尔 Rolle,(法)1652
2、-1719,使得,如,一、罗尔(Rolle)定理,5,费马引理,如果对,有,那么,由极限的保号性,函数的,驻点(Stationary point),稳定点,临界点(Critical point).,6,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,证,7,(1) 定理条件不全具备,结论不一定成立.,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,(2) 定理条件只是充分的.,8,几何意义,如果连续曲线 除端点外处处有不垂直于x轴的切线 .,且两端点的纵坐标相等,则这曲线上至少,存在点C,使得曲线在C点处的切线水平.,由图形可知,在曲线的最高点或最低点处切线水平.,有水平的切线,9,例1 证明:,内只有一个根
3、.,例2 不用求函数,的导数,说明方程,有几个实根.,10,注意:,证明方程,的根的存在性方法:,(1) 利用闭区间上零点的存在性定理;,(2) 归结为考虑函数,利用Rolle定理来证明.,关键是找辅助函数,11,例3 设,证明:,提示:,12,例4,试证方程,提示:,13,证,设,且,罗尔定理,即,试证方程,14,拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,15,几何解释:,分析,定理的结论就转化为函数,化为,罗尔定理.,在该点处的切线,平行于弦,利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件,的函数.,16
4、,证,作辅助函数,由此得,拉格朗日中值公式,且,易知,微分中值定理,17,注意:,1. 特别,即Lagrange定理是Rolle定理的推广.,时,Lagrange中值公式为,2. 作辅助函数的方法不是唯一的.,思考:,Lagrange中值定理证明中还可以如何作辅助函数?,3. 定理中的条件只是充分条件,而非必要条件.,18,例5,验证Lagrange中值定理对于函数,上的正确性.,19,Lagrange公式可以写成下面的各种形式:,它表达了函数增量和某点的,但是增量、,这是十分方便的.,由(3)式看出,导数之间的直接关系.,导数是个等式关系.,拉格朗日中值定理又称,拉格朗日中值公式又称,有限增
5、量公式.,有限增量定理.,20,它表明了函数在两点处的函数值,的单调性及某些等式与不等式的证明.,在微分学中占有,极重要的地位.,与导数间的关系.,今后要多次用到它.,尤其可利用它研究函数,21,例6,证,如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.,记,利用微分中值定理,得,22,例7 证明下列不等式,23,推论1,证,有,由条件,即在区间I中任意两,点的函数值都相等,所以,(1),(2),24,推论2,(1),(2),注意:,将推论1,推论2中的区间换成其它各种区间,(但不能是区间的并),结论仍成立.,25,例8 证明:,26,例9 设
6、,证明:,提示:,27,柯西 Cauchy (法)1789-1859,柯西中值定理,(1),(2),使得,三、柯西(Cauchy)中值定理,广义微分中值定理,28,这两个,错 !,柯西定理的下述证法对吗 ?,讨论,不一定相同,29,前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了,现在对两个给定的函数 f(x)、F(x), 构造,即可证明柯西定理.,辅助函数,辅助函数,分析,上式写成,用类比法,30,柯西定理的几何意义,注意,弦的斜率,切线斜率,31,例10,证,分析,结论可变形为,即,满足柯西中值定理条件,32,1,证明:,练习,33,罗尔 定理,拉格朗日 中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(L
7、agrange)中值定理、柯西中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说, 满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,34,应用三个中值定理常解决下列问题,(1) 验证定理的正确性;,(2) 证明方程根的存在性;,(3) 引入辅助函数证明等式;,(4) 证明不等式;,(5) 综合运用中值定理(几次运用).,关键 逆向思维,找辅助函数,35,四、小结,常利用逆向思维,构造辅助函数,注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.,三个微分中值定理成立的条件;,各微分中值定理的关系;,证明存在某点,使得函数在该点的导数满足一个方程.,运用罗尔定理.,拉格朗日中值定理的各种形式,其关系;,36,1. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,思考题,37,2. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示: 设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,38,作业,习题3-1 (134页),1. 2. 7. 9. 12.,
