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1、实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十,例1 设 为可测集，试证,证明 若 或 ， 则结论显然,若 且 ，则由 可测，取,例2 考察康脱闭集 与相应的开集 由上面定义知， =1- =0,注意：这里我们得到了一个测度为0 的不可数集的例子,第三节 可 测 集（续）,定理1 （1） 凡外测度为零的集合是可测集， 我们称为零测集。 （2） 零测集之任何子集仍为零测集。 （3） 有限个或可数个零测集之并仍为 零测集。,证明：设 ，则对任何集合 ，有,定理 2 区间都是可测集，且 定理 3 开集、闭集都是可测集。,证明 因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间之并，而区间是可测的，故开集
2、可测。闭集作为开集之余集也是可测的 。,我们指出重要的一类集，它从开集出发，通过取余集，作至多可列次或并或交的运算，所得到的集统称为波雷尔集。这样，一切波雷尔集是可测的。特别，波雷尔集中有这样的集值得注意，一种是可表为可列个开集的交，称为 集；另一种是可表为可列个闭集的并，称为 集。它们可用来构造任意可测集的测度。,定理 5 凡波雷尔集都是可测集。,定理6 设E是可测集，则存在 型集 使 且,证明 （1）先证 任意给的 ， 存在开集G, 使 ，且 。,为此，先设 ，则由测度的定义， 有一列开区间 使,令 ，则 为开集， ，,其次，设 ，这时 必为无界集， 但它总可表示成可数多个互不相交 的有界
3、可测集的并,则 为开集，且,（2）依次取 ， 由 证明中的（1）存在开集 ， 使 ，,则 为 型集且,定理7 设E是可测集，则存在 型集 使 且,证明 因 可测，由定理6存在 型集 G使 ， 。令 ，则 为 型集且,注意1 定理 6和定理7表明，可测集E是与某个 集或某个 集仅相差一个零测集。由于其逆也成立，这样我们就获得了一切可测集的构造。 注意2 不可测集是存在的。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十一,第四章 可测函数,本章引进一个新的函数类可测函数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运算，如代数运
4、算、取极限运算等是相当方便的，所得结果仍是可测函数。,第一节 可测函数及其基本性质,本节主要介绍可测函数的概念及其性质，通过本节的学习，我们要掌握可测函数的概念，可测函数的基本性质，即可测函数的四则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上的连续函数，简单函数，区间上的单调函数均为可测函数。另外，本节最后给出的“几乎处处”概念是一个很重要的概念,设E是 一个可测子集（有界或无界）， 是定义在E上的实函数（其值可以为无穷大）。,关于包含 在内的实数运算作如下规定：,是全体有限实数的上确界， 是全体有限实数的下确界：,上（下）方无界的递增（减）数列,对于任何有限实数,无意义,设 是任一实数
5、，记,=,定义1 设 是定义在可测 集 E上的实函数。如果对每一个实数 集 恒可测（勒贝格可测），则称 是定义在 E上的（勒贝格）可测函数。,定理1 设 是定义在可测 集 E上的实函数，下列任一个条件都是 在 E上（勒贝格）可测的充要条件： （1） 对任何有限实数 ， 都可测； （2） 对任何有限实数 ， 都可测； （3） 对任何有限实数 ， 都可测； （4） 对任何有限实数 ， 都可测,证明 与 对于E是互余的，同样 与 对于E也是互余的。故在前三个条件中，只须证明（1）的充要性。 事实上，易知,=,=,关于（4）的充要性，只需注意表示式 = 时 =,定义2 定义在 的实函数 称为在 连续，
6、如果 有限，而且对于 的任邻域 ，存在 的某邻域 ，使得 ，即只要 且 时，便有 。如果 在E中每一点都连续，则称 在E上连续。,定义 3 设 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集 ， = ， 使 在每个 上都等于某个常数 则称 为简单函数。,例4 可测集E上的连续函数是可测函数。,事实上，设 ，则由连续性假设，存在x的某邻域 ，使,令 =,=,证 （1）对于任何有限数 ， = ， 由假设等式右边是可测集。,（2） E是可测集而且对于任何有限数 ，有 =,由假设等式右边是可测集。,例1 任 何简单函数都是可测函数。 事实上，定义在可测集上的常值函数显然是可测 的，由定理2便知任何 简单函数都
7、是可测函数。,定理3 设 是 上一列（或有限个）可测函数，则 = 与 都是可测函数。 证 由于 = ， = 而得证。,定理4 设 是 上一列可测函数，则 = ，,也在E上可测，特别当 = 存在时，它也在E上可测。,证 由于 = ， = 重复应用定理3即得证。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十二,定理5 设 是可测集E上的可测函数，则 总可以表示成一列简单函数 的极限函数，而且还可办到,证 （1） 情形。 对每个自然数n, 定义,则 为E上的简单函数，且不难证明,我们证明 = 。,如果 = + ，则 = + 。,如果 + ，则有自然数N， 使 从而当 时,（2）一般情形 令,=sup ,
8、=sup,则 ， 都是非负可测函数，,对 ， 作出相应的简单函数列 ， 则 = - ，即为所求。,由此得到：函数 在 E上可测 的充要 条件是 总可以表示成一列简单函数 的极限函数，其中,定理6 在可测集E上定义的两个可测函数的和、差、积、商（假定运算有意义）都是可测的。,证 设 ， 是E上可测函数。故存在两个简单函数列 ， , 使得,lim , lim = .,Lim =,lim,lim,显然两个简单函数的代数运算仍是简 单函数，据定理5知结论成立。,定义 4 如果命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，则说命题S在集E上几乎处处成立，记为S,a.e 命题S也指某一性质而言。,例1，两函
9、数f与g几乎处处相等指的是f与g不相等的点集 的测度为零，而在 上处处有,容易证明， 两个几乎处处相等的函数具有相同的可测性。即改变函数在一个零测集上的函数值不改变其可测性。,例2 几乎处处有限 取值为无穷大的点集为零测集。 例3 几乎处处收敛 不收敛的点集为零测集。 例4 几乎处处为正 函数值不是正数的点集为零测集,第 二 节 叶果洛夫定理,本节主要介绍一个重要定理叶果洛夫定理。通过本节的学习，我们要知道，对于定义在测度有限的可测集上的几乎处处有限的可测函数列，几乎处处收敛与“基本上”一致收敛是等价的，同时我们要知道，叶果洛夫定理的逆定理总是成立的。,定理（叶果洛夫定理） 设 ， 是E上一列
10、几乎处处有限的可测函数列， 是E上几乎处处有限的可测函数， 在E上几乎处处收敛于 ，则对任意 ，存在子集， 使在 上 一致收敛，且 。,这个定理告诉我们，凡是满足定理假设的几乎处处收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛，因此在许多场合它提供了处理极限交换问题的有力工具。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十三,第 三 节 可测函数的构造,前面我们已经知道，可测集上的连续函数一定是可测函数。反之，一般的可测函数可以说是“基本上连续”的函数。这就是下面的定理：,定理 1 （鲁津定理）设,是,使,在,上是连续函数，且,简言之， 上几乎处,，存
11、在闭子集,上几乎处处有限的可测函数，则对任意,处有限的可测函数是“基本上连续”的函数。,证明 我们从特殊到一般分三种情形来讨论。,简单函数情形。,可测互不相交，且,=,，当,由（1）知，存在闭集 。使 在 上是连续的，且,令 ，显然 且 在闭集 上是 一致收敛于 的连续函数列，从而 是 上的连续函数，且 。实际上,（3） 情形。 令 为球 。,由（2）知， 在 上是基本上连续。即存在闭子集 ，使 在 上是连续的且,令 ，由 的特殊作法，我们容 易证明， 在 上是连续且 而 仍为闭集。,注1 该定理的证明方法值得注意，先考虑简单函数，再往一般的可测函数过渡。,注2 该定理使我们对可测函数的结构有
12、了进一步的了解 ，它揭示了可测函数与连续函数的关系。在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题，从而得以简化。,注3 该定理的逆定理也是成立的。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十四,第四节 依测度收敛,本节我们引进另一个收敛概念依测度收敛，并讨论它与几乎处处收敛的关系。通过本节的学习，我们要知道，依测度收敛与几乎处处收敛有很大的区别，另一方面，黎斯定理和勒贝格定理表明，它们也有一定的联系。,在这个序列中是第 个函数。可以证明这个序列是度量收敛于零,这是因为对任何,但是函数列在（0，1上的任何 一点都不收敛。,例2 取 ，作函数列,显然 ，当 。,但是当 时， 且,反过来，一个几乎处处收敛的 函数列也可以不是依测度收敛的 。,这说明 不依测度收敛于1。,
