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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷理科数学一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2设，其中是实数，则（ ）（A）1 （B） （C） （D）2 3已知等差数列前9项的和为27，则（ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97 4某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A） （B） （C） （D） 5已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4
2、，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 6如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D） 7函数在的图像大致为（ ） 8若，则（ ）（A） （B） （C） （D） 9执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的值满足（ ）（A） （B） （C） （D） 10以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点。已知，则的焦点到准线的距离为（ ）（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 11平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）（A） （B） （C） （D） 12已知函数，为
3、的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）（A）11 （B）9 （C）7 （D）5二填空题：本题共4小题，每小题5分。 13设向量，且，则 。 14的展开式中，的系数是 。（用数字填写答案） 15设等比数列满足，则的最大值为 。 16某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元.该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为 元。三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（
4、本小题满分12分）的内角的对边分别为，已知。求；若，的面积为，求的周长。 18（本小题满分12分）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是。证明：平面平面；求二面角的余弦值。 19（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图。以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，
5、记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。求的分布列；若要求，确定的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 20（本小题满分12分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点。证明为定值，并写出点的轨迹方程；设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围。 21（本小题满分12分）已知有两个零点。求的取值范围；设是的两个零点，证明：。请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22（本小题满分10分）（选修4
6、1：几何证明选讲）如图，是等腰三角形，。以为圆心，为半径作圆。证明：直线与相切；点在上，且四点共圆，证明：。 23（本小题满分10分）（选修44：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）。在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：。说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求。 24（本小题满分10分）（选修45：不等式选讲）已知函数。在答题卡第（24）题图中画出的图像；求不等式的解集。2016年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷理科数学解答一DBCBA ADCCB AB 二13；1410；1564；16
7、216000 17解：由已知及正弦定理得，。故，可得，所以； 由已知，又，故。由已知及余弦定理得，故，从而。故的周长为。 18解：由已知可得，所以平面。又平面，故平面平面； 过作，垂足为，由知平面。以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系。由知为二面角的平面角，故，则，可得，。由已知，所以平面。又平面平面，故，。由，可得平面，所以为二面角的平面角，从而。所以，。设是平面的法向量，则，即，所以可取。设是平面的法向量，则，同理可取。则，所以二面角的余弦值为。 19解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为的概率分别是，从而，。因此的分布列如下
8、表所示；16171819202122 由知，故的最小值为19； 记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）。当时，当时，。可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，所以应选。20解：因，故，故。又圆的方程为，故，所以。由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：；当与轴不垂直时，设：，由得，故，所以。过点且与垂直的直线：，点到直线的距离为，故，从而四边形面积。可知当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围是。当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12。综上，四边形面积的取值范围是。 21解：由题。若，则，只有一个零点；若，则当时，；当时，。所以在单调递减，在单调递增。又，取满足且，则，故
9、存在两个零点；若，由得或。如果，则，故当时，因此在单调递增。当时，故不存在两个零点。如果，则，故当时，；当时，。因此在单调递减，在单调递增。又当时，故不存在两个零点。综上，的取值范围是； 不妨设，由知，在单调递减，所以等价于，即。由于，而，故。设，则。所以当时，故，从而，所以。 22解：设是的中点，连。因，故，。在中，即到直线的距离等于的半径，所以直线与相切； 因，故不是四点所在圆的圆心。设是四点所在圆的圆心，作直线。由题知在线段的中垂线上，又在线段的中垂线上，故。同理可证，所以。 23解：消去参数得到的普通方程，是以为圆心，为半径的圆。将，代入的普通方程，即得到的极坐标方程为； 由得。由已知可得，故，因此，从而（舍负）。 24解：，故的图像如图（略）； 由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或。故的解集为，的解集为。所以的解集为。第 8 页 共 8 页
