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1、第10练正弦定理、余弦定理及应用明晰考情1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cosA，则b等于()A.B.C2D3答案D解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，即5b2222b2，解得b3，故选D.2(2018全国)在ABC中，cos，BC1，AC5，则A
2、B等于()A4B.C.D2答案A解析cos，cosC2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC521225132，AB4.故选A.3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosCccosA，则B_.答案解析方法一由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.又B(0，)，B.方法二在ABC中，由余弦定理，得acosCccosAacb，条件等式变为2bcosBb，co
3、sB.又0B，B.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a23b23c22bcsinA，则C_.答案解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以b2c22bccosA3b23c22bcsinA，sinAcosA，2sin2，当且仅当bc时，等号成立，因此bc，A，所以A，所以C.考点二与三角形的面积有关的问题要点重组三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)(2)SabsinCbcsinAcasinB.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆的半径)5(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，
4、则C等于()A.B.C.D.答案C解析SabsinCabcosC，sinCcosC，即tanC1.又C(0，)，C.6钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于()A5B.C2D1答案B解析SABBCsinB1sinB，sinB，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.7.(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bs
5、in C，b2c2a28，则ABC的面积为_答案解析bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC.又sinBsinC0，sinA.由余弦定理得cosA0，cosA，bc，SABCbcsinA.8在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB，2，则ABC的面积为_答案2解析因为bcosC3acosBccosB，由正弦定理得sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，即sinBcosCsinCcosB3sinAcosB，所以sin(BC)3sinAcosB.又sin(BC)sin(A)s
6、inA，所以sinA3sinAcosB，又sinA0，解得cosB，所以sinB.由2，可得cacosB2，解得ac6.所以SABCacsinB62.考点三解三角形中的最值(范围)问题方法技巧由余弦定理中含两边和的平方(如a2b22abcosCc2)且a2b22ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用SabsinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性9在ABC中，|3，则ABC的面积的最大值为()A.B.C.D3答案B解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，即bccosA3，a3，cosA11，cosA，0sinA，
7、0tanA.ABC的面积SbcsinAtanA，故ABC面积的最大值为.10已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足SABCa2，则的最大值为()A.1B.C.1D.2答案C解析根据题意，有SABCa2bcsinA，即a22bcsinA应用余弦定理，可得b2c22bccosAa22bcsinA，令t，于是t212tcosA2tsinA于是2tsinA2tcosAt21，所以2sint，从而t2，当且仅当A时，“”成立，解得t的最大值为1.11已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，满足cosAsinBsinCcosBsinAsinC2cosCsinAsinB，则C
8、的最大值为_答案解析由正弦定理，得bccosAaccosB2abcosC，由余弦定理，得bcac2ab，a2b22c2，cosC，当且仅当ab时，取等号0C，00，tanB0.所以tan(AB)，当且仅当3tanB，即tanB时，tan(AB)取得最大值，所以此时B.1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且abc，a2b2c2，则角A的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析因为a2b2c2，所以cosA0，所以A为锐角又因为abc，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.2在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若Sa2(bc)2，则cosA等于()A.BC.
9、D答案D解析由Sa2(bc)2，得a2b2c22bc.由余弦定理，可得sinA1cosA，结合sin2Acos2A1，可得cosA.3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记S为ABC的面积，若A60，b1，S，则c_，cosB_.答案3解析因为A60，b1，SbcsinA1c，解得c3.由余弦定理，可得a，所以cosB.解题秘籍(1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题(2)对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以一个式子1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，B45，则角A等于()A60B120C90D60或
10、120答案D解析由正弦定理可知，即2，所以sinA，因为ab，所以A45，所以A60或A120.故选D.2在ABC中，若3，b2a2ac，则cosB的值为()A.B.C.D.答案D解析由题意知，c3a，b2a2acc22accosB，所以cosB.3已知在ABC中，(abc)(sinAsinBsinC)asinB，其中A，B，C为ABC的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则C等于()A.B.C.D.答案B解析因为(abc)(sinAsinBsinC)asinB，所以由正弦定理，可得(abc)(abc)ab，整理得c2a2b2ab，所以cosC，因为C(0，)，所以C.故选B.4在ABC中
11、，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，2bc2acos C，sin C，则ABC的面积为()A.B.C.或D.或答案C解析因为2bc2acosC，所以由正弦定理可得2sinBsinC2sinAcosC，所以2sin(AC)sinC2sinAcosC.所以2cosAsinCsinC，又sinC0，所以cosA，因为0A180，所以A30，因为sinC，所以C60或120.当C60时，A30，所以B90，又a1，所以ABC的面积为12；当C120时，A30，所以B30，又a1，所以ABC的面积为11，故选C.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m，n，p共线，
12、则ABC的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共线，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.则sinsin.0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是()Aa2bBb2aCA2BDB2A答案A解析等式右边sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB，等式左边sinB2sinBcosC，sinB2sinBcosCsinAcosCsinB.
