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1、专题56 立体几何 空间点、线、面的位置关系 【考点讲解】1、 具本目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点
2、的公共直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3.异面直线所成的角异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.4.异面直线的判定方法：判定定
3、理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角
4、的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查【真题分析】1.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m，n，则（ ）A.ml B.mn C.nl D.mn【解析】由题意知，故选C【答案】C2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MN
5、Q不平行的是（ ） A B C D【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中，在直线平面，第三个选项同样可得，直线平面，第四个选项有，直线平面，只有选项A不符合要求【答案】A3【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）ABCD【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.【答案】C4.【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A. B. C
6、. D. 【解析】利用正方体的性质可，将异面直线与所成角转化为共面直线与所成角的正切值，在中进行计算就可以了.在正方体中有，所以异面直线与所成角为，设正方体的边长为，因为为棱的中点，所以有，.【答案】C5.【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【解析】将直三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成的角为，由题意可知，因此【答案】C6.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成，直线AC与所成角的余弦的最大值是_【解析】设直线与所成角为设是中点，由已知得，如图，以为轴，为
7、轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，作于，翻折过程中，始终与垂直，则，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以，所以时，取最大值【答案】7.【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【分析】（）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，所以即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明，所以；（）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明；（）根据（）的结论，做，连结,即为所求.【解析】（）解：如图，由已知AD/BC，故或其补角即为异面直线AP与BC
8、所成的角.因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BC/AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC.【模拟考场】1空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A两条直线 B一点和一条直线 C一个三角形 D三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C正确；A选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C2.在三棱锥ABCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H
9、四点，如果EFHGP，则点P（ ）A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】如图所示，EF平面ABC，HG平面ACD，EFHGP，P平面ABC，P平面ACD.又平面ABC平面ACDAC，PAC，故选B.【答案】B3.已知平面和直线l，则在平面内至少有一条直线与直线l()A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l与平面相交，则在平面内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l平面，则在平面内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面相交，直线l与平面
10、平行，直线l在平面内三种位置关系，在平面内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.【答案】B4.不在同一条直线上的三点A、B、C到平面的距离相等，且A，给出以下三个命题：ABC中至少有一条边平行于；ABC中至多有两边平行于；ABC中只可能有一条边与相交.其中真命题是_.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A、B、C可能在的同侧，也可能在两侧，其中真命题是.【答案】5.如图，四棱锥中，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为（ ）A B C D【解析】设，则，过作交于，则，过作交于，则即为为所求，如图所示，过作交于，连接，则四边形是梯形，其中，过作交于，则，在中，则，所
11、以，故选A.【答案】A6.已知A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EGBD，所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，可得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角
12、为45.7.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AMAN1.（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A1B，在四边形A1BCD1中，A1D1BC且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1BD1C.在ABA1中，AMAN1，AA1AB3，所以，所以MNA1B，所以MND1C.所以M，N，C，D1四点共面.（2）记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1AMN，D1ADN，D1CDN均为三棱锥，所以V1SAMND1A1SADND1DSCDND1D333.从而V2V127，所以，所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.
