静态套利定价理论APTDOC

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1、第五讲 静态套利定价理论第一节 套利机会考虑一个无摩擦经济，假定投资者在期初进行投资决策，期末的资产回报具有不确定性。假定该经济中存在种可以进行交易的风险资产，其随机回报率向量、线性无关，具有有限方差和期望回报率，其它风险资产和投资组合都是这N种风险资产的线性组合。假定风险资产可以无限卖空。记Z为这N种资产的回报率矩阵，即：则对任意一个可行投资组合w，投资一份该组合的成本为，回报率向量为Zw。定义：一个投资组合被称为套利组合，如果其成本为零，即。定义：一个投资组合（或资产）被称为无风险组合（或资产），如果该组合（或资产）在每个自然状态上具有相同的回报，即，其中R为无风险利率。定义：一个特定的投

2、资组合被称为可复制的(duplicable)，如果存在其它不同的投资组合，满足。定义：称一个投资组合是第一类套利机会，如果它满足： ，。其中第二个不等号至少有一个分量严格大于零。第一类套利机会代表了一种投资，具有非正的成本，却在将来有可能获得正的收益，获得负的收益的可能为零。定义：称一个投资组合是第二类套利机会，如果它满足： ，第二类套利机会代表了一种投资，其成本为负，未来收益非负。在一个经济中可能只有第二类套利机会，而没有第一类套利机会。例如：并不存在，满足，因为。但时，满足，但。在一个经济中可能只有第一类套利机会，而没有第二类套利机会。例如： 。对任意投资组合，其回报率向量为。只存在第一类

3、套利机会，而没有第二类套利机会。定义：一个或有权益（或衍生资产）是期末回报完全由其它资产回报率决定的资产。包括远期合约(forward contract)、期权等。例如：一份远期合约(forward contract)，指在期末以期初约定的价格购买特定资产的义务。假定该资产的随机回报为，操作价格为X，则该远期合约的随机回报为： 。例如：一份一期的看涨期权(call option)，代表了一种在期末以特定价格购买指定资产的权利。如果标的资产的随机回报为，期权的操作价格为X，则该期权的随机回报为： 例如：一份一期的看跌期权(put option)，代表了一种在期末以特定价格卖出指定资产的权利。如果

4、标的资产的随机回报为，期权的操作价格为X，则该期权的随机回报为： 第二节 无套利定价无套利条件下的期权价格关系：假定期权的标的资产期初价格为，期末价格为，期权的执行价格为K，经济中的无风险利率为。记看涨期权价格为，看跌期权价格为，则有如下性质：性质1：。性质2：看涨期权的价格是其执行价格的凸函数，即： ，。性质3：在相同操作价格K下，标的在n种资产构成的投资组合上的看涨期权的价格，要小于标的在各资产上的看涨期权的价格的相同权重的加权和，即： ，。 性质4：（看跌-看涨平价关系）。价格向量和资产价格：定义：一个向量p被称为支撑经济Z的价格向量，如果该向量满足：。注：如果N种资产的当前价格向量为v

5、，期末回报矩阵为Y，则上述定义等价于。此处是一个维的向量，代表了自然状态的基本权益价格，这种基本权益可以刻画为：。经济中的价格向量p确定后，任给一份资产或投资组合p，知道其回报向量，则期初价格为。例如：操作价格为X的看涨期权(call option)，如果标的资产的随机回报为，则该期权的期初价格为： 。定理2.1：存在一个支撑回报率矩阵Z的非负价格向量的充分必要条件为不存在第二类套利机会。例：，则，因此有： ， 。在该经济中存在第二类套利机会。定理2.2：存在一个支撑回报率矩阵Z的正的价格向量的充分必要条件为同时不存在第一类和第二类套利机会。例：，则，因此，定理2.2的条件不成立，该经济中存在

6、着第一类套利机会。例：，该经济存在一个价格向量：。容易证明，该经济中不存在两类套利机会。在该经济中，如果存在一种资产，其期末回报服从：，则该资产的期初价格为，标的在该资产上的操作价格为2的看涨期权价格为： 。第三节 因子模型与APT一、因子模型定义：因子模型(factor model)是指一种假设证券回报率仅与不同因子变化有关的经济模型。因子模型的特点是：（1） 因子模型中的因子系统地影响所有证券价格的经济因素；（2） 证券回报率之间的相关性仅源于对因子变化的共同反应；（3） 证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券独有的部分，与其它证券独有部分无关。在因子模型中，资产的随机回报率可以表示

7、为： ，在这类模型中，资产风险可以分为因子风险和非因子风险，通过分散化投资可以缩小非因子风险。根据因子的个数，因子模型可以分为单因子模型和多因子模型。例如：单因子模型：CAPM模型是一个单因子模型，因子为市场组合回报率（或切点组合回报率）。多因子模型：资产价格可能依赖于GDP增长率、利率水平、通货膨胀率与石油价格，则这些变量都可以当作因子。在实践中，通常可以选取与这些变量高度相关的资产或投资组合作为因子。在CAPM模型中，我们要求二基金分离成立，即：对于任意可行投资组合p的随机回报率满足：，其中e为切点组合，且，。如果上述条件不成立，直观地我们可以想到，通过分散化投资也应该可以将非系统风险消除

8、，从而投资组合的期望收益率之间存在着类似的线性关系。Ross(1976)创立的套利定价理论（APT）告诉我们，如果经济中存在着大量的资产，并且不存在（极限情形下的）套利机会，那么在绝大多数资产的期望回报率之间仍然存在着一种近似线性关系。Ross(1976)的APT是一种多因子模型。定义：极限情形下的套利机会，是指一个具有期望回报率的下界大于零、方差收敛到零的套利组合序列。（无成本，且几乎无风险地得到正的回报）二、Ross的APT理论1、模型建立考虑一个资产数上升的经济序列，假定市场是完全竞争的、无摩擦的，投资者是理性的、不饱和的，当经济中存在套利机会时，投资者会通过构造套利组合来增加自己的财富

9、。假定在第n个经济中，存在n个风险资产和一个无风险资产，风险资产回报率由一个K-因子模型生成： ， 。 (5.1)满足： ， ；, 。 ，。 利用线性代数(5.1)式可以改写为： 。 (5.2)2、不存在非因子风险的情形：（）定理5.1：当，即风险资产回报完全由K因子和无风险资产生成时，如果经济中不存在套利机会，则资产回报率之间存在一个严格的线性关系：。 (5.3)证明：对资产j，首先构造一个由无风险资产和K因子构成的投资组合，其投资组合权重满足：，该投资组合的随机回报率为： 。下面我们根据无套利条件，来证明关系式：（1）如果，则卖空一单位货币在证券j上，投资一单位货币在上，该组合是一个套利组

10、合，成本为零，但期末回报，这蕴涵经济中存在套利机会，与命题的假设矛盾。（2）如果，则卖空一单位货币在上，投资一单位货币在证券j上，该组合是一个套利组合，成本为零，但期末回报，这蕴涵经济中存在套利机会，与命题的假设矛盾。由此我们有，所以由(5.1)得，资产的期望回报率之间存在着如下的线性关系式： 。证明完毕。3、存在非因子风险的情形（，）引理5.1：对于任意给定的正数，为满足的资产数，如果极限情形下的套利机会不存在，则存在一个，对任意的，成立。 证明：采用反证法，假定不存在这样一个，使得对所有的n，满足，则序列存在一个子序列，满足当时，。下面我们来构造套利组合：对于给定的，不妨假定满足的资产为。

11、（1）对于每一个满足条件的j，首先构造一个由K个因子和无风险资产构成的投资组合，其投资组合权重满足：，该投资组合的随机回报率为： 。接着构造套利投资组合：当时，卖空一单位货币在上，投资一单位货币在证券j上；当时，卖空一单位货币在证券j上，投资一单位货币在上。该组合是一个套利组合，其回报率为： 。其中 。（2）通过个套利组合来构造套利组合，在中，在每个上的权重相等，都是。因此套利组合的期望回报率和方差分别为： ， 。由此出现了极限情形下的套利机会，与假设矛盾。定理5.2（Ross(1976)的APT）：当经济中的资产数足够多，且不存在极限情形下的套利机会时，对绝大多数资产而言，其期望回报率之间存

12、在一个近似线性关系。证明：根据引理5.1，对任意给定的正数，至多存在个风险资产，其随机回报率可以表示为，且有：。相应地这些资产的期望回报率满足： 因此当n足够大时，经济中绝大多数资产满足： ，即期望回报率之间存在一个近似线性关系。三、均衡套利定价理论在Ross(1976)的APT理论中，当资产数足够大时，近似线性关系对绝大多数资产都成立；但对特定的资产而言，对这种线性关系的偏离可能很大，因此对任意给定的风险资产，我们希望来估计其期望回报率对线性关系偏离的程度。这方面的研究由Dybvig(1983)、Crinblatt&Titmam(1983)和Connor(1984)等给出。1、 模型假设假定

13、经济中存在N种风险资产和一种无风险资产，其回报率分别为和。假定风险资产严格地正供给，风险资产回报率由K-因子模型生成： ， 。其中，相互独立。假定效用函数单调增、严格凹、三次连续可微，且所有个体的绝对风险回避系数存在一个上界，即： ，对成立。假定市场是均衡的，经济中不存在套利机会。2、 均衡套利定价理论定理（均衡APT）：在上述假定下，对任意的风险资产j，我们有： 其中为投资在风险资产j上的市场总值，I为投资者总数。证明：（1）当时，类似于定理5.1的证明，有，因此风险资产j的期望回报率服从： 。 （2）当时， 首先考虑一个投资组合，该组合在无风险资产和K因子上的权重分别为：，该投资组合的随机

14、回报率为： 。接下来构造一个套利组合：投资单位货币在投资组合上，同时卖空单位货币的资产j，该套利组合的随机回报率为： 。设个体的初始财富量为，期末的随机财富量为，因为经济中不存在套利机会，如下最大化问题的解为。在处，上述最大化问题的一阶条件可以表示为： ，即。上式可以改写为： ，因此有：。 注意到，且风险资产严格地正供给，因此至少存在一个个体，其投资在资产j上的财富量严格大于零，即，因此我们有： 。相应地，当时，我们有所有个体在资产j上的投资量都严格大于零。下面我们通过估计、的界，来估计的界，我们分三步来讨论：（1） 估计的界：对于任意固定的j，当，个体投资在资产j上的财富量严格大于零，即，记，这是把第j种风险资产的非因子风险剔除后个体的期末随机财富量。根据中值定理，我们有： ，其中，而。引理5.2：证明：因为，所以有：；又根据，我们有。引理得证。根据引理