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1、课时规范练课时规范练 2929 等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和 一、基础巩固组 1 1.已知等差数列an中,a4+a5=a3,a7=-2,则a9=( ) A.-8B.-6C.-4D.-2 2 2.(2017 陕西咸阳二模,理 4)张丘建算经卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起, 每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按 30 天计)共织布 390 尺,最后一天织布 21 尺”,则该女 第一天织布多少尺?( ) A.3B.4C.5D.6 3 3.已知在每项均大于零的数列an中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn- - 1 1 =2(nN N*,且n2),则a81
2、等于( ) - 1 A.638B.639C.640D.641 4 4.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使得Sn取最大值时,n 的值是( ) A.18B.19C.20D.21 5 5.(2017 辽宁沈阳质量检测)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=( ) A.5B.6C.7D.8 6 6.(2017 北京丰台一模,理 10)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8= . 7 7.已知在数列an中,a1=1,a2=2,当整数n2 时,Sn+1+Sn-1=2(
3、Sn+S1)都成立,则S15= . 8 8.一个等差数列的前 12 项的和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227,则该数 列的公差d= . 9 9.若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . 1 2 (1)求证:成等差数列; 1 (2)求数列an的通项公式. 导学号 21500542 1010.Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数, 如0.9=0,lg 99=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列bn的前 1 000 项和. 二、综合提升组 1111.若
4、数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN N*),则数列an的前n项和数值最大时,n的值为( ) A.6B.7C.8D.9 1212.(2017 四川广元二诊,理 10)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,其中m2, 则nSn的最小值为( ) A.-3B.-5C.-6D.-9 1313.数列an是等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN N*),设Sn为bn的前n项和.若a12= a50, 3 8 则当Sn取得最大值时,n的值等于 . 1414.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.
5、 (1)求通项公式an; (2)求Sn的最小值; (3)若数列bn是等差数列,且bn=,求非零常数c. + 导学号 21500543 三、创新应用组 1515.有两个等差数列an,bn,其前n项和分别为Sn和Tn,若,则 = 3 2 + 1 的值为( ) 1+ 2+ 14+ 19 1+ 3+ 17+ 19 A.B.C.D.导学号 21500544 27 19 18 13 10 7 17 13 课时规范练 2929 等差数列及其前 n 项和 1 1.B 解法一:由已知可得 21+ 7 = 1+ 2, 1+ 6 = - 2, ? 解得a1=10,d=-2, 所以a9=10+(-2)8=-6. 解法
6、二:因为a4+a5=a3, 所以a3+a6=a3,a6=0, 又a7=-2,所以d=-2,a9=-2+(-2)2=-6. 2 2.C 设第n天织布an尺,则数列an是等差数列,且S30=390,a30=21, S30=(a1+a30),即 390=15(a1+21),解得a1=5.故选 C. 30 2 3 3.C 由已知Sn-Sn-1=2,可得=2, - 1 - 1 - 1 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 故=2n-1,Sn=(2n-1)2, a81=S81-S80=1612-1592=640,故选 C. 4 4.C a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=3
7、3,则an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n, 因此当Sn取得最大值时,n=20. 5 5.D 解法一:由题知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2- ( - 1) 2 n2=4n+4=36,所以n=8. 解法二:Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8. 6 6.0 an为等差数列,Sn为其前n项和.a2=2,S9=9, 2= 1+ = 2, 9= 91+ 9 8 2 = 9, ? 解得d=-,a1=, 1 3 7 3 a8=a1+7
8、d=0. 7 7.211 由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),数列an从第二项 起构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列,则S15=1+214+2=211. 14 13 2 8 8.5 设该等差数列的前 12 项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d. 由题意得 奇+ 偶= 354, 偶 奇= 32 27, ? 解得 偶= 192, 奇= 162. ? 又S偶-S奇=6d, 所以d=5. 192 - 162 6 9 9.(1)证明 当n2 时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=
9、-2SnSn-1,所以=2. 1 1 - 1 又=2,故是首项为 2,公差为 2 的等差数列. 1 1 = 1 1 1 (2)解 由(1)可得=2n,Sn= 1 1 2. 当n2 时,an=Sn-Sn-1=- 1 2 1 2( - 1) = - 1 - 2( - 1) 1 2( - 1). 当n=1 时,a1=不适合上式. 1 2 故an= 1 2, = 1, - 1 2( - 1), 2. ? 1010.解 (1)设an的公差为d,据已知有 7+21d=28,解得d=1. 所以an的通项公式为an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2. (2)因为bn
10、= 0,1 0,得a1=-d,a120; ( - 81 5) 当n17 时,anb2b140b17b18,b15=a15a16a170, 故S14S13S1,S14S15,S15S17S18. 因为a15=- d0,a18= d0,所以 6 5 9 5 6 5 9 5 3 5 S16S14,故Sn中S16最大.故答案为 16. 1414.解 (1)数列an为等差数列,a3+a4=a2+a5=22. 又a3a4=117,a3,a4是方程x2-22x+117=0 的两实根. 又公差d0,a3a4, a3=9,a4=13, 1+ 2 = 9, 1+ 3 = 13, ? 1 = 1, = 4. ? 通
11、项公式an=4n-3. (2)由(1)知a1=1,d=4, Sn=na1+d=2n2-n=2 ( - 1) 2 ( - 1 4) 2 1 8. 当n=1 时,Sn最小,最小值为S1=a1=1. (3)由(2)知Sn=2n2-n, bn=, + = 22 - + b1=,b2=,b3= 1 1 + 6 2 + 15 3 + . 数列bn是等差数列, 2b2=b1+b3,即2=,2c2+c=0, 6 2 + 1 1 + + 15 3 + c=-(c=0 舍去),故c=- 1 2 1 2. 1515.D 由题意,知a1+a2+a14+a19=2(a8+a10)=4a9, 同理b1+b3+b17+b19=4b10, 又,且Sn和Tn都是关于n的二次函数, = 3 2 + 1 设Sn=kn3n=3kn2,设Tn=kn(2n+1), a9=S9-S8=3k17,b10=T10-T9=39k, 1+ 2+ 14+ 19 1+ 3+ 17+ 19 = 9 10 = 3 17 39 = 17 13.
