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1、思维特训(十)几何动态问题中的相似 1我们以运动的观点探究几何图形的变化规律的问题称为动态几何问题随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现的图形的位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题2点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的数量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究3解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论类比发现法大致可
2、遵循如下步骤：(1)根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；(2)结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识(常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关结论；(3)类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质1如图10S1，AB90，AB7，AD2，BC3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则这样的点P共有()A1个 B2个C3个 D4个图10S12如图10S2，在ABC中，AB7，AC，BC8，线段BC所在直线以每秒2个单位长度的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行该直线与AB，AC分别交于点M，N，记x秒时，该直线在ABC内的部分的长度为y，试写出y关于x的函数表达式：
3、_图10S23已知：如图10S3，在ABCD中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB.将ACD沿AC方向匀速平移得到PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1 cm/s；当PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图.设移动时间为t s(0t4)，连接PQ，MQ，MC.解答下列问题：图10S3(1)当t为何值时，PQMN?(2)设QMC的面积为y cm2，求y与t之间的函数表达式(3)是否存在某一时刻t，使SQMCS四边形ABQP14？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由(4)是否存在某一时刻t，使PQMQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由4如图10S
4、4，OF是MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQOA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB.(1)如图，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系(2)如图，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由(3)如图，MON60，连接AP，设k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由图10S45如图10S5，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐
5、标原点O重合，且AD8，AB6.如图，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒(1)当t5时，请直接写出点D，P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出PBD的面积S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围；(3)当点P在线段AB或线段BC上运动时，过点P作PEx轴，垂足为E，当PEO与BCD相似时，求出相应的t值图10S562017永州 已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点(1)如图10S6，若E是OD
6、的中点，F是AB上一点，且使得CEF90，过点E作MEAD，交AB于点M，交CD于点N.求证：AEMFEM；F是AB的中点(2)如图，若E是OD上一点，F是AB上一点，且使，请判断EFC的形状，并说明理由(3)如图，若E是OD上的动点(不与O，D重合)，连接CE，过点E作EFCE，交AB于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论)图10S67如图10S7，在直角坐标系xOy中，直线l：ykxb分别交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是(2，2)，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与BCD成轴对称的BCD.(1)当CBD15时，求点C的坐标(2)当图
7、中的直线l经过点A，且k时(如图)，求点D由点C到点O的运动过程中，线段BC扫过的图形与OAF重叠部分的面积(3)当图中的直线l经过点D，C时(如图)，以DE为对称轴，作与DOE成轴对称的DOE，连接OC，OO，是否存在点D，使得DOE与COO相似？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由图10S7详解详析1C解析 设APx，则PBABAP7x，当PDACPB时，即，解得x1或x6；当PDAPCB时，即，解得x.则这样的点P共有3个故选C.2yx83解：(1)如图所示在ABC中，AB3 cm，BC5 cm，A90，由勾股定理，得AC4 cm.若PQMN，则PQAB，.CQPAt cm，C
8、P(4t)cm，QB(5t)cm，解得t.经检验，t是原方程的解且符合题意故当t的值为时，PQMN.(2)如图所示，过点P作PDBC于点D，则CPDCBA，.BA3 cm，CP(4t)cm，BC5 cm，PD(4t)cm.又CQt cm，y(4t)tt2t(0t4)(3)存在SQMCS四边形ABQP14，SQMCt2t，S四边形ABQPSABCSPCQSABCSQMC34t2t6，14，即t24t40，解得t1t22，当t2时，SQMCS四边形ABQP14.(4)存在如图所示，过点M作MEBC交BC的延长线于点E，过点P作PDBC于点D，则CPDCBA，.BA3 cm，CP(4t)cm，BC5
9、 cm，CA4 cm，PD(4t)cm，CD(4t)cm.PQMQ，PQDMQE90.又PDQE90，PQDDPQ90，DPQMQE，PDQQEM，即PDEMQEDQ.EMPD(4t)cm，DQCDCQ(4t)tcm，QEDEDQ5(t)(t)cm，(t)2(t)(t)，即2t23t0，解得t(t0舍去)当t时，PQMQ.4.解：(1)ABPB.理由：如图，连接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，AOBBOQAOBBQO.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.(2)存在证明：如图，连接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，BOQFON，AOF
10、FONBQC，BQPAOB.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.(3)如图，连接BQ.易证ABOPBQ，OABBPQ，ABPB.OPBBPQ180，OPBOAB180，AOPABP180.MON60，ABP120.ABPB，BAPBPA30.BOBQ，BOQBQO30，ABPOBQ，.AOB30，当BAOM时，的值最小，最小值为0.5，k存在最小值，最小值为0.5.5解：(1)D(4，3)，P(12，8)(2)当点P在边AB上，即0t6时，BP6t，SBPAD(6t)84t24；当点P在边BC上，即6t14时，BPt6，SBPAB(t6)63t18，所以S(3)易求D(t，t)，当点P在边AB
11、上时，点P(t8，t)，若，则，解得t6；若，则，解得t20.0t6，t20不合题意，应舍去当点P在边BC上时，点P(14t，t6)，若，则，解得t6；若，则，解得t.6t14，t不合题意，应舍去综上，当t6时，PEO与BCD相似6解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABD45，BADABCBCDADC90，AECE.MEAD，MEAB，AMEBMEBAD90，ENCADC90，BME是等腰直角三角形，四边形BCNM是矩形，BMEM，BMCN，EMCN.在RtAME和RtENC中，AECE，EMCN，RtAMERtENC(HL)，AEMECN.CEF90，FEMCEN90.ECNCEN90
12、，FEMECN，AEMFEM.在AME和FME中，AMEFME90，AEMFEM，EAFEFA，AEFE.又MEAF，AMFM，AF2AM.E是OD的中点，O是BD的中点，.MEAD，F是AB的中点(2)EFC是等腰直角三角形理由如下：过点E作MEAD，交AB于点M，交CD于点N.同(1)得：AECE，RtAMERtENC，AEMECN.，O是DB的中点，.MEAD，.，AF2AM，即M是AF的中点MEAB，AEFE，AEMFEM，FECE.ECNCEN90，FEMCEN90，CEF90，EFC是等腰直角三角形(3)当时，.7解：(1)BCDBCD，CBDCBD15，CBCB2，CBC30.如图，过点C作CHBC于点H，则CH1，HB，CH2，点C的坐标为(2，1)(2)如图，k，设直线AF的函数表达式为yxb.直线l过点A(2，0)，b，则直线AF的函数表达式为yx ，OAF30，BAF60.在点D由点C到点O的运动过程中，BC
