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1、证明两条直线垂直（直角）的常用方法（一）相交线与平行线1.定义法：两条直线相交成直角则两直线垂直。2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线 。即：若ab，ac，则bc。3.邻补角的平分线互相垂直。4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。（二）三角形5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。7.三角形相似法：证一个三角形与直
2、角三角形相似。8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。（三）四边形9.矩形的两邻边互相垂直。10.菱形的两条对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。（四）圆12.半圆或直径所对的圆周角是直角。13.圆的切线垂直于过切点的半径。（五）图形变换法14.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。15.同一法或反证法（不要求掌握）证明直线平行的常用方法（一）平行线与相交线：1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。2.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行。3.平行于同一直线的两直线互相平行。4.平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内
3、角互补，两直线平行。（二）三角形5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。（三）四边形7.平行四边形的两组对边互相平行。8.梯形的两底边平行。9.梯形的中位线平行于两底。（四）同一法或反证法（不要求掌握）证明两线段相等的常用方法（一）三角形1.等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。2.证明三角形全等：全等三角形的对应边相等。3.三线合一：等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边。4.线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。5.角平分线性质
4、：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。6.过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边。（二）特殊四边形7.平行四边形的对边相等、对角线互相平分。8.矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等。9.等腰梯形两腰相等，两条对角线相等。（三）圆10.同圆或等圆的半径相等。11.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。12.圆的旋转不变性：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弧中有一组量相等，那么对应的其余各组量也相等。13.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。（四）其他14.等量代换：若a=b，b=c，则a=c。15.等式性质：若a=b，则a-c=b-c；若，则a=b。16.
5、等量的一半相等。17.计算长度：证明两线段相等。18.面积相等法：面积相等的三角形（或平行四边形），若底（高）相等，则高（底）相等。19.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。20.图形变换法（1）轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。（2）平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。（3）位似变换不改变图形的形状。22.同一法或反证法（不要求掌握）证明两角相等的常用方法（一）平行线与相交线1.同角（或等角）的余角相等、补角相等。2.两直线平行，同位角相等、内错角相等。3.证角平分线：到角的两边距离相等的点，在角的
6、平分线上。（二）三角形5.全等三角形的对应角相等。 6.相似三角形的对应角相等。7.同一个三角形中，等边对等角。8.三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角平分线互相重合。（三）特殊四边形9.平行四边形的对角相等。10.菱形的对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。（四）圆11.同圆等圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等。12.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。13.圆的内接四边形的每一个外角等于它的内对角。14.补充：圆的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 （五）15.计算角度，证明两角相等。16.等量代换：若a=b，
7、b=c，则a=c。17.等式性质。18.等量的一半相等。19.等量加等量，其和相等；等量减等量，其差相等。20.若，则a=b.21.若a+c=b+c，则a=b.22.图形变换法（1）轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等。（2）平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。（3）位似变换不改变图形的形状。23.同一法或反证法（不要求掌握）证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5. 三角形中位线定
8、理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。6. 直角三角形中30度锐角所对的直角边等于斜边的一半。7.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。8.利用相似三角形对应边比例的性质。9.利用锐角的三角函数值。 证明角的和差倍分1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例。2.平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。3.直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。4.利用比利式或等积式化得。5.与圆有关的比例定理-相交弦定理、切割线定理及其推论。
