《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.2.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.2.1 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 二项分布及其应用二项分布及其应用 2.2.1 条件概率条件概率 学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一 些简单的实际问题 知识点一 条件概率 100 件产品中有 93 件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85 件产品的长度、质量都合 格 令 A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格 思考 1 试求 P(A)，P(B)，P(AB) 答案 P(A)，P(B)，P(AB). 93 100 90 100 85 100 思考 2 任取一件产品，已知其质量合格(即 B 发生)，求它的长度(即 A 发生)也合格(记为 A|
2、B)的概率 答案 事件 A|B 发生，相当于从 90 件质量合格的产品中任取 1 件长度合格，其概率为 P(A|B). 85 90 思考 3 P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系 答案 P(A|B). PAB PB 梳理 条件设 A，B 为两个事件，且 P(A)0 含义在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率 记作P(B|A) 读作A 发生的条件下 B 发生的概率 计算 公式 缩小样本空间法：P(B|A) nAB nA 公式法：P(B|A) PAB PA 知识点二 条件概率的性质 1任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0P(B|A)1. 2如果 B 和 C 是两
3、个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 1若事件 A，B 互斥，则 P(B|A)1.( ) 2事件 A 发生的条件下，事件 B 发生，相当于 A，B 同时发生( ) 类型一 求条件概率 命题角度1 利用定义求条件概率 例 1 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依 次抽取 2 个节目，求 (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 设第 1 次抽到舞蹈节
4、目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则第 1 次和第 2 次都 抽到舞蹈节目为事件 AB. (1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个，总的事件数 n()A 30. 2 6 根据分步乘法计数原理，有 n(A)A A 20， 1 4 1 5 所以 P(A) . nA n 20 30 2 3 (2)因为 n(AB)A 12，所以 P(AB) . 2 4 nAB n 12 30 2 5 (3)方法一 由(1)(2)，得在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A) . PAB PA 2 5 2 3 3 5 方法二 因为 n(AB)12，n(A)20， 所
5、以 P(B|A) . nAB nA 12 20 3 5 反思与感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率 P(AB)和 P(A) (2)将它们相除得到条件概率 P(B|A)，这个公式适用于一般情形，其中 AB 表示 PAB PA A，B 同时发生 跟踪训练 1 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两 天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率 是( ) A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A 解析 设某天的空气质量为优良是事件 B，
6、随后一天的空气质量为优良是事件 A，故所求概 率为 P(A|B)0.8. PAB PB 0.6 0.75 命题角度2 缩小基本事件范围求条件概率 例 2 集合 A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取， 在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率 解 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,
7、3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个在这 15 个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)， (3,5)，(3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P . 9 15 3 5 引申探究 1在本例条件下，求乙抽到偶数的概率 解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)， (5,4)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P . 9 15 3 5 2若甲先取(放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数大于 4” ；事件 B：“甲、乙抽到的 两数之和等
8、于 7” ，求 P(B|A) 解 甲抽到的数大于 4 的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， (6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形有：(5,2)，(6,1)， 共 2 个所以 P(B|A) . 2 12 1 6 反思与感悟 将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件 A，原来的事件 B 缩小为 AB. 而 A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空 间上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(B|A)，这里 n(A)和 n(AB
9、)的计数是基于 nAB nA 缩小的基本事件范围的 跟踪训练 2 5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在 第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为_ 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率 答案 1 2 解析 设第 1 次取到新球为事件 A，第 2 次取到新球为事件 B，则 P(B|A) . nAB nA 3 2 4 3 1 2 类型二 条件概率的性质及应用 例 3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个其中，第一个盒子中有 7 个球标有 字母 A,3 个球标有字母 B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个
10、盒子中有红球 8 个， 白球 2 个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 A 的球， 则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母 B 的球，则在第三个盒子中任取一 个球如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率性质的简单应用 解 设 A从第一个盒子中取得标有字母 A 的球， B从第一个盒子中取得标有字母 B 的球， R第二次取出的球是红球， W第二次取出的球是白球， 则容易求得 P(A)，P(B)，P(R|A) ， 7 10 3 10 1 2 P(W|A) ，P(R|B) ，P(W|B) . 1 2 4 5
11、 1 5 事件“试验成功”表示为 ARBR，又事件 AR 与事件 BR 互斥，故由概率的加法公式，得 P(ARBR)P(AR)P(BR) P(R|A)P(A)P(R|B)P(B) 0.59. 1 2 7 10 4 5 3 10 反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的 较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)便可求 得较复杂事件的概率 跟踪训练 3 在某次考试中，要从 20 道题中随机抽出 6 道题，若考生至少能答对其中 4 道 题即可通过，至少能答对其中 5 道题就获得优秀已知某考生能答对其中 10 道
12、题，并且知 道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率性质的简单应用 解 记事件 A 为“该考生 6 道题全答对” ，事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题，另一道答 错” ，事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题，另 2 道题答错” ，事件 D 为“该考生在这次考 试中通过” ，事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀” ，则 A，B，C 两两互斥，且 DABC，EAB，可知 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C) ，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)， C 6 10 C 6 20 C 5 10C 1 10 C 6 20 C 4
13、 10C 2 10 C 6 20 12 180 C 6 20 P(E|D)P(A|D)P(B|D) . PA PD PB PD 210 C 6 20 12 180 C 6 20 2 520 C 6 20 12 180 C 6 20 13 58 故获得优秀成绩的概率为. 13 58 1已知 P(B|A) ，P(AB) ，则 P(A)等于( ) 1 2 3 8 A. B. C. D. 3 16 13 16 3 4 1 4 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 C 解析 因为 P(B|A)，所以 P(A) . PAB PA PAB PB|A 3 8 1 2 3 4 2市
14、场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂产品占 30%，甲厂产品的合格率是 95%， 乙厂产品的合格率是 80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( ) A0.665 B0.564 C0.245 D0.285 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A 解析 记事件 A 为“甲厂产品” ，事件 B 为“合格产品” ，则 P(A)0.7，P(B|A)0.95， P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665. 3从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B“取 到的 2 个数均为偶数” ，则 P
15、(B|A)等于( ) A. B. C. D. 1 8 1 4 2 5 1 2 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率 答案 B 解析 P(A) ，P(AB)， C2 3C2 2 C2 5 2 5 C2 2 C2 5 1 10 P(B|A) . PAB PA 1 4 4假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小 孩是男孩的概率是_ 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率 答案 2 3 解析 一个家庭的两个小孩只有 4 种可能：男，男，男，女，女，男，女，女，由 题意可知这 4 个基本事件的发生是等可能的，所求概率 P . 2 3 5抛掷红、蓝两枚骰子，记事件 A 为“蓝色骰子的点数为 4 或 6” ，事件 B 为“两枚骰子的 点数之和大于 8” ，求： (1)事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率； (2)事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为 6636，事件 A 的基本事件数为 6212，
