《四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第一章 第3课时 几个常用函数的导数及其公式 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第一章 第3课时 几个常用函数的导数及其公式 （3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 课时 几个常用函数的导数及其公式 基础达标(水平一) 1.已知f(x)=,则f(1)=( ). 1 3 A.1B.-1 C.3 D.-3 【解析】因为f(x)= =x-3, 1 3 所以f(x)=-3x-4. 故f(1)=-3. 【答案】D 2.曲线y=x3的斜率等于 1 的切线的条数为( ). A.1B.2C.3 D.不确定 【解析】y=3x2,且k=1,3x2=1,解得x=. 3 3 【答案】B 3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ). A.e2B.2e2C.4e2D. 2 2 【解析】因为点(2,e2)在曲线上,y=ex, 所以切线的斜率k=
2、e2, 所以切线的方程为y-e2=e2(x-2),即 e2x-y-e2=0. 又此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2),(1,0), 所以三角形的面积S= 1e2=. 1 2 2 2 【答案】D 4.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为( ). A.B.-C.-e D.e 1 1 【解析】因为y=(ex)=ex,设切点坐标为(x0,y0),所以k=,得x0=1,所以k=e. 0 0 0 0 0 0 0 【答案】D 5.若曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+6 平行,则切点坐标是 . 【解析】设切点坐标为(x0,), 2 0 因为y=2x,所以切线的斜率k=2x0, 又
3、切线与y=4x+6 平行, 所以 2x0=4,解得x0=2,故切点坐标为(2,4). 【答案】(2,4) 6.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0 的距离的最小值为 . 【解析】由题意可知,与直线x-y-2=0 平行的抛物线的切线的切点到直线x-y-2=0 距离最小. 该切线斜率为 1. 设切点为(x0,y0),则有y=1=2x0, | = 0 x0=,切点为, 1 2 ( 1 2, 1 4) d=. | 1 2 1 4 2| 12+ ( 1)2 7 2 8 【答案】 7 2 8 7.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积. 1 【解析】联立两条曲线方程解得
4、= 1 , = 2, ? = 1, = 1, ? 故交点坐标为(1,1). k1=- x=1=-1,k2=2x|x=1=2, 1 2 两条切线的方程分别为x+y-2=0,2x-y-1=0,与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示. 两条切线与x轴的交点分别为(2,0),. ( 1 2,0) 三角形的面积S= 1= . 1 2 (2 1 2) 3 4 拓展提升(水平二) 8.已知曲线y=x3-1 与曲线y=3- x2在x=x0处的切线互相垂直,则x0的值为( ). 1 2 A.B.C.D. 3 3 3 3 33 3 9 3 【解析】由导数的定义得,曲线y=x3-1 在x=x0处的切线斜率k1=3,
5、曲线y=3- x2在x=x0处的切线斜 2 0 1 2 率为k2=-x0.两条曲线在x=x0处的切线互相垂直,3(-x0)=-1,x0=.故选 D. 2 0 3 9 3 【答案】D 9.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则实数a的值是( ). A.4B.-4 C.2 D.-2 【解析】y=,切线方程为y-=(x-a).令x=0,得y=,令y=0,得x=-a.由题意知 1 2 1 2 2 a=2,a=4. 1 2 2 【答案】A 10.函数y=x2(x0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN*,若a1=16,则 2 a1+a3+a
6、5= . 【解析】y=2x,在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0), 2 2 ak+1= ak,即数列ak是首项a1=16,公比q=的等比数列,a3=4,a5=1,a1+a3+a5=21. 1 2 1 2 【答案】21 11.已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两条曲线的切线互 相垂直?并说明理由. 【解析】不存在.理由如下: 设y1=sin x,y2=cos x两条曲线的一个公共点为P(x0,y0). 则两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为 k1=y1=cos x0, | = 0 k2=y2=-sin x0, | = 0 若使两条切线互相垂直,必须有 cos x0(-sin x0)=-1, 即 sin x0cos x0=1, 即 sin 2x0=2,这是不可能的, 两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
