《备战2019高考数学（理科）大二轮复习练习：专题一 集合、逻辑用语等 题型练4 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2019高考数学（理科）大二轮复习练习：专题一 集合、逻辑用语等 题型练4 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题型练题型练 4 大题专项大题专项(二二) 数列的通项、求和问题数列的通项、求和问题 1.设数列an的前 n 项和为 Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且 q(q-1)0. (1)求an的通项公式; (2)若 S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列. 2.已知等差数列an的首项 a1=1,公差 d=1,前 n 项和为 Sn,bn=. 1 (1)求数列bn的通项公式; (2)设数列bn前 n 项和为 Tn,求 Tn. 3.(2018 浙江,20)已知等比数列an的公比 q1,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5的等差中项.数列bn满 足 b1=1,数列(
2、bn+1-bn)an的前 n 项和为 2n2+n. (1)求 q 的值; (2)求数列bn的通项公式. 4.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,公比为 q 的等比数列bn的首项是,且 a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40. (1)求数列an,bn的通项公式 an,bn; (2)求数列的前 n 项和 Tn. 1 + 1 + 1 + 1 5.已知数列an满足 a1=,且 an+1=an-(nN*). 2 (1)证明:12(nN*); + 1 (2)设数列的前 n 项和为 Sn,证明:(nN*). 2 1 2( + 2) 1 2( + 1) 6.已知数列an的首项为 1,Sn为数列an的
3、前 n 项和,Sn+1=qSn+1,其中 q0,nN*. (1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列an的通项公式; (2)设双曲线 x2-=1 的离心率为 en,且 e2=,证明:e1+e2+en. 2 2 4 - 3 3 - 1 题型练 4 大题专项(二) 数列的通项、求和问题 1.(1)解 当 n=1 时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1. 当 n2 时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得 an=qan-1. 又 q(q-1)0,所以an是以 1 为首项,q 为公比的等比数列,故 an=qn-1. (2)证明 由(1)可知 S
4、n=,又 S3+S6=2S9, 1 - 1 - 所以, 1 - 3 1 - + 1 - 6 1 - = 2(1 - 9 ) 1 - 化简,得 a3+a6=2a9,两边同除以 q,得 a2+a5=2a8.故 a2,a8,a5成等差数列. 2.解 (1)在等差数列an中,a1=1,公差 d=1, Sn=na1+d=,bn= ( - 1) 2 2+ 2 2 2+ . (2)bn=2,Tn=b1+b2+b3+bn=2+ 2 2+ = 2 ( + 1)( 1 - 1 + 1) 1 1 2 + 1 2 3 ? + 1 3 4 +=2+=2故 Tn= ? 1 ( + 1) ( 1 - 1 2 ? + 1 2
5、 1 3 + 1 3 1 4 1 ? 1 + 1) ( 1 - 1 + 1) = 2 + 1. 2 + 1. 3.解 (1)由 a4+2 是 a3,a5的等差中项,得 a3+a5=2a4+4,所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得 a4=8. 由 a3+a5=20,得 8=20, ( + 1 ) 解得 q=2 或 q= ,因为 q1,所以 q=2. 1 2 (2)设 cn=(bn+1-bn)an,数列cn前 n 项和为 Sn, 由 cn=解得 cn=4n-1. 1, = 1, - - 1, 2, ? 由(1)可知 an=2n-1, 所以 bn+1-bn=(4n-1) (1 2) - 1
6、. 故 bn-bn-1=(4n-5),n2, (1 2) - 2 bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5)+(4n-9)+7+3. (1 2) - 2 (1 2) - 3 1 2 设 Tn=3+7+11+(4n-5),n2, 1 2 (1 2) 2 (1 2) - 2 Tn=3+7+(4n-9)+(4n-5), 1 2 1 2 (1 2) 2 (1 2) - 2 (1 2) - 1 所以 Tn=3+4+4+4-(4n-5), 1 2 1 2 (1 2) 2 (1 2) - 2 (1 2) - 1 因此 Tn=14-(4n+3),n2
7、, (1 2) - 2 又 b1=1,所以 bn=15-(4n+3) (1 2) - 2. 4.解 (1)设an公差为 d,由题意得解得故 an=3n-1,bn= 1+ 2 = 8, 1+ 2 = 3, 1+ + 2 = 6, ? 1 = 2, = 3, = 1 2, ? ( 1 2) . (2)+22n+1, 1 + 1 + 1 + 1 = 1 3( 1 - 1 + 1) + 1 + 1 = 1 3( 1 - 1 + 1) Tn=+(22n 1 3( 1 2 - 1 5 )? +(1 5 - 1 8)( 1 3 - 1 - ? 1 3 + 2) + 8(1 - 4) 1 - 4 = 1 3(
8、 1 2 - 1 3 + 2) + 1 3 +3-8)= 1 3(2 2 + 3 - 1 3 + 2) 5 2. 5.证明 (1)由题意得 an+1-an=-0,即 an+1an,故 an由 an=(1-an-1)an-1,得 an=(1-an-1)(1-an-2)(1- 2 1 2. a1)a10. 由 00,故 q=2. 所以 an=2n-1(nN*). (2)证明 由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线 x2-=1 的离心率 en= 2 2 1 + 2 = 1 + 2( - 1). 由 e2=,解得 q= 1 + 2= 5 3 4 3. 因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以qk-1(kN*). 1 + 2( - 1) 于是 e1+e2+en1+q+qn-1=, - 1 - 1 故 e1+e2+en 4 - 3 3 - 1 .
