《2018年秋高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学案新人教A版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年秋高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学案新人教A版必修（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.52.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.12.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 2.5.22.5.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例 学习目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重点) 2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具(重点)3.培养运用向量知识解决 实际问题和物理问题的能力(难点) 自 主 预 习探 新 知 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹
2、角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系 2向量在物理中的应用： (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等 (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解 (3)动量mv v是向量的数乘运算 (4)功是力F F与所产生的位移s s的数量积 基础自测 1思考辨析 (1)若ABC是直角三角形，则有0.( ) AB BC (2)若，则直线AB与CD平行( ) AB CD (3)用力F F推动一物体水平运动s s m，则力F F对物体所做的功为|F F|s s|.( ) 解析 (1)错误因为ABC为直角三角形，B并不一定是直角，有可能是A或 C为直角 (2)错误向量时
3、，直线ABCD或AB与CD重合 AB CD (3)错误力F F对物体所做的功为F Fs s. 答案 (1) (2) (3) 2已知一个物体在大小为 6 N 的力F F的作用下产生的位移s s的大小为 100 m，且F F与 s s的夹角为 60，则力F F所做的功W_J. 300 WF Fs s6100cos 60300(J) 3设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|16，|，则| BC2 AB AC AB AC |_. AM 2 |， AB AC AB AC 0， AB AC AB AC ABC是直角三角形，BC为斜边， | | 42. AM 1 2 BC 1 2 合 作 探 究攻 重
4、难 向量在平面几何中的应用 (1)已知非零向量与满足0 且 ，则 AB AC ( AB |AB | AC |AC |)BC AB |AB | CA |AC | 1 2 ABC的形状是( ) A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰三角形D等边三角形 (2)已知四边形ABCD是边长为 6 的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且 BFFC21，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积 思路探究 (1)先由平行四边形法则分析的几何意义，由数量积为 0 推出 AB |AB | AC |AC | 垂直关系，再由 求BAC，最后判断ABC的形状 AB |AB | CA |AC | 1 2 (2
5、)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边 形APCD的面积 (1 1)C C (1)由0，得A的平分线垂直于BC，所以ABAC，设， ( AB |AB | AC |AC |)BC AB 的夹角为， CA 而cos ， AB |AB | CA |AC | 1 2 又0，所以BAC ，故ABC为等腰三角形 3 2 3 (2)以A为坐标原点，AB为x轴AD为y轴建立直角坐标系， 如图所示， A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)， F(6,4)，E(3,0)， 设P(x，y)，(x，y)， AP (6,4)，(x3，y)，(3,6) AF EP
6、EC 由点A，P，F和点C，P，E分别共线， 得Error!Error! S四边形APCDS正方形ABCDSAEPSCEB 36 33 36. 1 2 1 2 45 2 母题探究：1.将本例 1(1)的条件改为()(2)0，试判断ABC的 OB OC OB OC OA 形状 解 ()(2)0， OB OC OB OC OA ()()0， OB OC OB OA OC OA ()0， CB AB AC ()()0， AB AC AB AC 0，即|2|20， AB2 AC2 AB AC 所以|， AB AC ABC是等腰三角形 2将本例 1(2)的条件“BFFC21”改为“BFFC11” ，求证
7、：AFDE. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，则中点E(3,0)，F(6,3)， (6,3)，(3，6)， AF DE 633(6)0， AF DE ，AFDE. AF DE 规律方法 1向量法证明平面几何中ABCD的方法： 法一：选择一组向量作基底；用基底表示和；证明的值为 0；给 AB CD AB CD 出几何结论ABCD. 法二：先求，的坐标，x1，y1，x2，y2，再计算的值为 AB CD AB CD AB CD 0，从而得到几何结论ABCD. 2用向量法证明平面几何中ABCD的方法： 法一：选择一组向量作基底；用基底表示
8、和)；寻找实数，使 AB CD ，即；给出几何结论ABCD. AB CD AB CD 法二：先求，的坐标，x1，y1，x2，y2.利用向量共线的坐标关 AB CD AB CD 系x1y2x2y10 得到，再给出几何结论ABCD.,以上两种方法，都是建立在 AB CD A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有得到ABCD. AB CD 向量在解析几何中的应用 已知点A(1,0)，直线l：y2x6，点R是直线l上的一点，若2，求 RA AP 点P的轨迹方程. 【导学号：84352265】 思路探究 设Px，y，Rx0，y0 依据RA 2AP 找x， y与x0，y0的关系 由点R在直线 l得y
9、02x06 消x0，y0得x与y 的关系即为所求 解 设P(x，y)，R(x0，y0)， 则(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)， RA (x，y)(1,0)(x1，y) AP 由2，得Error! RA AP 又点R在直线l：y2x6 上，y02x06， Error! 由得x032x，代入得 62(32x)2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方 程 规律方法 用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量 用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何 问题. 跟踪训练 1已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E
10、，F分别为边 BC，CA，AB的中点 (1)求直线DE的方程； (2)求AB边上的高线CH所在直线的方程 解 (1)设M(x，y)是直线DE上任意一点， 则， DM DE 因为点D，E分别为边BC，CA的中点， 所以点D，E的坐标分别为D(1,1)，E(3，1)， (x1，y1)，(2，2)， DM DE 所以(2)(x1)(2)(y1)0， 即xy20 为直线DE的方程 (2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则，所以0， CN AB CN AB 又(x6，y2)，(4,4)， CN AB 所以 4(x6)4(y2)0， 即xy40 为所求直线CH的方程 平面向量在物理中的应用 探究
11、问题 1向量的数量积与功有什么联系？ 提示：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它 的实质是向量的数量积 2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？ 提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： 问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数 学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结 论回归到物理问题中 (1)一物体在力F F1(3，4)，F F2(2，5)，F F3(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移动到点B(0,5)在这个过程中三个力的合力所做的功等于_ (2)设作用于同一点的三
12、个力F F1，F F2，F F3处于平衡状态，若|F F1|1，|F F2|2，且F F1 与F F2的夹角为 ，如图 251 所示 2 3 图 251 求F F3的大小 求F F2与F F3的夹角. 【导学号：84352266】 思路探究 (1)求出合力、位移的坐标表示 利用数量积求功 (2)由三个力处于平衡状态用F F1，F F2表示F F3 用向量模的计算公式求F F3的大小 用F F1，F F2表示F F3构造F F2F F3利用夹角公式求解 (1)40 因为F F1(3，4)，F F2(2，5)，F F3(3,1)，所以合力 F FF F1F F2F F3(8，8)，(1,4)， A
13、B 则F F188440， AB 即三个力的合力所做的功为40. (2)由题意|F F3|F F1F F2|， 因为|F F1|1，|F F2|2，且F F1与F F2的夹角为 ，所以|F F3|F F1F F2| 2 3 . 142 1 2 ( 1 2)3 设F F2与F F3的夹角为， 因为F F3(F F1F F2)， 所以F F3F F2F F1F F2F F2F F2， 所以2cos 3 124， ( 1 2) 所以 cos ， 3 2 所以 . 5 6 规律方法 向量在物理中的应用： 1求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四 边形法则求解. 2用向量方法解决物理问题的步骤： 把物理问题中的相关量用向量表示； 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； 结果还原为物理问题. 跟踪训练 2在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一 小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？ 解 如图所示，设向量的长度和方向表示水流速度的大小和 OA 方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以， OB OA 为邻边作平行四边形OACB，连接OC. OB 依题意OCOA，BCOA20，OB40， BOC30. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60的方向行进
