2018年高中数学第1章统计案例1.1独立性检验学案苏教版选修

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1、1.11.1 独立性检验独立性检验 在从烟台大连的某次航运中，海上出现恶劣气候，随机调查男、女乘客在船上晕 船的情况如下表： 晕船不晕船合计 男人 325183 女人 82432 合计 4075115 问题 1：上述表格在数学中是如何定义的？ 提示：此表格为 22 列联表 问题 2：据此资料，你是否认为在恶劣气候中航行，男人比女人更容易晕船？ 提示：不能认为 问题 3：判断上述问题应运用什么方法？ 提示：独立性检验 122 列联表的定义 对于两个研究对象和，有两类取值类A和类B，也有两类取值类 1 和类 2，可 以得到如下列联表所示的抽样数据： 类 1类 2合计 类A ab ab 类B cd

2、cd 合计acbdabcd 将形如此表的表格称为 22 列联表 2卡方统计量 为了消除样本量对|adbc|的影响，统计学中引入下面的量(称为卡方统计量)： 2 n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd） 其中nabcd为样本量 3独立性检验 利用2统计量来研究两类对象是否有关系的方法称为独立性检验 4要推断“与有关系” ，可按下面的步骤进行 (1)提出假设H0：与没有关系； (2)根据 22 列联表与公式计算2的值； (3)查对临界值(如表)，作出判断 P(2 x0) 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 x00.4550.7081.

3、3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 例如： 若210.828，则有 99.9%的把握认为“与有关系” ； 若26.635，则有 99%的把握认为“与有关系” ； 若22.706，则有 90%的把握认为“与有关系” ； 若22.706，则认为没有充分的证据显示“与有关系” ，但也不能作出结论 “H0成立” ，即不能认为与没有关系 1在列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足adbc0.因此|adbc|越小， 说明两个变量之间关系越弱；|adbc|越大，说明两个变量之间关系越强 2独立性检验的基本思想类似于反证法，我们可以利用独立性检验来考察两个对象是

4、否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度 例 1 在一项有关性别与喜欢吃甜食的关系的社会调查中，发现调查的男性为 530 人，女性为 670 人，其中男性中喜欢吃甜食的为 117 人，女性中喜欢吃甜食的为 492 人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表 思路点拨 在 22 列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然 后找出相应的数据，列表即可 精解详析 作列联表如下： 喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计 男 117413530 女 492178670 合计 6095911 200 一点通 (1)分清类别是作列联表的关键； (2)表中排成两行两列的数据是调查得来的结果； (3)选取数据时，

5、要求表中的四个数据a，b，c，d都要不小于 5，以保证检验结果的 可信度 1下面是一个 22 列联表： y1y2 合计 x1a2173 x282533 合计 b46 则表中a_，b_ 解析：a2173，a732152. 又a8b，b52860. 答案：52 60 2某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的 426 名学 生中有 332 名在考前心情紧张；性格外向的 594 名学生中在考前心情紧张的有 213 人，作 出 22 列联表 解：作列联表如下： 性格内向性格外向合计 考前心情紧张 332213545 考前心情不紧张 94381475 合计 4265941 020

6、 例 2 某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤 炎，在生产季节开始，随机抽取 75 名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生 产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下： 阳性例数阴性例数合计 新防护服 57075 旧防护服 101828 合计 1588103 问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由 思路点拨 通过有关数据的计算，作出相应的判断 精解详析 提出假设H0：新防护服对预防皮肤炎没有明显效果 根据列联表中的数据可求得 213.826. 103 （5 1870 10）2 75 28 15 88 因为H0成立时，210.82

7、8 的概率约为 0.001，而这里213.82610.828，所以 我们有 99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有效 一点通 根据 22 列联表，利用公式 计算2的值，再与临界值比较，作出判断 n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd） 3有 300 人按性别和是否色弱分类如下表： 男女 正常 132151 色弱 125 色弱与性别是否有关？ 解：提出假设H0：色弱与性别无关 通过计算2知， 2 n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd） 300 （132 5151 12）2 （132151） （125） （13212） （1515） 3.683 9.

8、因为H0成立时，22.706 的概率约为 0.10， 而这里23.683 92.706，故有 90%的把握说色弱与性别有关 4有甲、乙两个班级进行一门课的考试，按照学生的考试成绩优秀和不优秀统计后， 得到如下列联表： 优秀不优秀合计 甲班 103545 乙班 73845 合计 177390 利用列联表的独立性检验估计成绩与班级是否有关系 解：提出假设H0：成绩与班级没有关系由列联表中所给数据，可得2 0.6530.708. 90 （10 387 35）2 17 73 45 45 因为当H0成立时，20.653 的概率大于 40%，这概率比较大，所以根据目前的调查 数据，不能否定假设H0，即不能

9、作出成绩与班级有关的结论 例 3 为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无 影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990 件产品中有合格品 982 件，次品 8 件；甲 不在生产现场时，510 件产品中有合格品 493 件，次品 17 件试用独立性检验的方法分析 监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响 思路点拨 正确地写出两个分类变量的四个取值，画出 22 列联表是解决问题的 关键，利用2公式，计算2的值，进而与临界值比较大小，作出结论 精解详析 22 列联表如下 合格品数次品数合计 甲在生产现场 9828990 甲不在生产现场 49317510 合计 1 4752

10、51 500 提出假设 H0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系 根据2公式得 213.097. 1 500（982 17493 8）2 990 510 1 475 25 因为H0成立时，210.828 的概率约为 0.001，而这里213.09710.828，所以有 99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系 一点通 (1)通过分析题可以画出列联表，然后求得2值 (2)进行独立性检验时和反证法的思想一样，都是先假设与预定的结论相反，然后推出 矛盾，在实际做题中成了程序化的步骤，只需求出2值，与临界值相比较即可 5为调查某地区老年人是否需要志愿者提供

11、帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查 了 500 位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿者 男女合计 需要 403070 不需要 160270430 合计 200300500 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)有多大的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者 提供帮助的老年人的比例？说明理由 附： P(2x0)0.0500.0100.001 x03.8416.63510.828 2. n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd） 解：(1)调查的 500

12、位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中， 需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为14%. 70 500 (2)提出假设H0：该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别无关，由列联表中所给 数据，可得 29.967. 500 （40 27030 160）2 200 300 70 430 因为H0成立时，29.9676.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要 志愿者提供帮助与性别有关 (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本 数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时， 先确定该地区老

13、年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法， 比采用简单随机抽样方法更好 6电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目 时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ，已知“体育迷”中 有 10 名女性 根据已知条件完成下面的 22 列联表，并据此资料你是否有 95%的把握认为“体育迷” 与性别有关？ 非体育迷体育迷合计 男 女 合计 解：由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “体育迷”有 25 人，从而

14、 22 列联 表如下： 非体育迷体育迷合计 男 301545 女 451055 合计 7525100 将 22 列联表中的数据代入公式计算， 得23.030. 100 （30 1045 15）2 75 25 45 55 100 33 因为 3.03010.828， 有 99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的 7有两个变量x，y，其一组观测值如下面的 22 列联表所示： y1y2 x1a 20a x2 15a30a 其中a，15a均为大于 5 的整数，则a取何值时，有 90%的把握认为x与y之间有关 系？ 解：查表可知，要使x与y之间有 90%的把握认为有关系，则22.

15、706， 由题意，得2 65a（30a）（20a）（15a）2 20 45 15 50 ， 65（65a300）2 20 45 15 50 13（13a60）2 60 90 由22.706，解得a7.19 或a5，且 15a5，aZ Z，a8，9. 当a等于 8 或 9 时，有 90%的把握认为x与y之间有关系 8某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名为研究 工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人， 先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和 “25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50，60)， 60，70)，70，80)，80，90)，90，100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方 图 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ，请你根据已知条件完成 2