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1、考点测试考点测试 2626 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 高考概览本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读 1了解平面向量基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件 一、基础小题 1已知向量a a(2,1)，b b(4，m)，若a ab b，则m( ) 1 2 A2 B2 C D 1 2 1 2 答案 A 解析 由向量的坐标运算可得 1m，解得m2故选 A 1 2 2设向量e e1，e e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a a3e
2、 e14e e2与b b6e e1ke e2不能作 为一组基底，则实数k的值为( ) A8 B8 C4 D4 答案 B 解析 由a a与b b不能作为一组基底，则a a与b b必共线，故 ，即k8故选 B 3 6 4 k 3已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为( ) AB A， B， 3 5 4 5 4 5 3 5 C ， D ， 3 5 4 5 4 5 3 5 答案 A 解析 因为(3，4)，所以与其同方向的单位向量e e (3，4) ， 故选 AB AB |AB | 1 5 3 5 4 5 A 4若向量a a(2,1)，b b(1,2)，c c0，则c c可用向量a
3、 a，b b表示为( ) 5 2 Aa ab b Ba ab b 1 2 1 2 Ca ab b Da ab b 3 2 1 2 3 2 1 2 答案 A 解析 设c cxa ayb b，则 0， (2xy，x2y)，所以Error!解得Error!则c ca ab b故选 5 2 1 2 A 5已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的 AD AB CO 坐标为( ) A ，5 B，5 1 2 1 2 C，5 D ，5 1 2 1 2 答案 D 解析 (2,3)(3,7)(1,10) AC AB AD ，5 ，5故选 D OC 1 2AC 1 2 CO
4、1 2 6设向量a a(1，3)，b b(2,4)，c c(1，2)，若表示向量 4a,a,4b b2c,c,2(a ac c)，d d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d d( ) A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6) 答案 D 解析 设d d(x，y)，由题意知 4a a(4，12)，4b b2c c(6,20)，2(a ac c)(4，2)， 又 4a a4b b2c c2(a ac c)d d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得 x2，y6，所以d d(2，6)故选 D 7已知点A(1，2)，若向量与向量a a(2,3)同向，且|
5、，则点B的坐标为( ) AB AB 13 A(2,3) B(2,3) C(3,1) D(3，1) 答案 C 解析 设(x，y)，则ka a(k0)，即Error!由|得k1，故 AB AB AB 13 (1，2)(2,3)(3,1)故选 C OB OA AB 8已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当A，B，C三点共线时，实数k的值为 OA OB OC ( ) A3 B11 C2 D2 或 11 答案 D 解析 因为(4k，7)，(6，k5)，且，所以(4k) AB OB OA BC OC OB AB BC (k5)6(7)0，解得k2 或 11故选 D 9已知向量，和在正方形网格中
6、的位置如图所示，若，则( ) AC AD AB AC AB AD A3 B3 C4 D4 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由 AC AB AD 题意可知(2，2)(1,2)(1,0)，即Error!解得Error!所以3故选 A 10设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，若 AD 1 2AB BE 2 3BC 12(1，2为实数)，则12的值为_ DE AB AC 答案 1 2 解析 () DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3 AC AB ，1 ，2 ，12 1 6AB 2 3AC 1 6 2 3 1 2 1
7、1如图，已知平面内有三个向量， ， ，其中与的夹角为 120，与的夹角为 OA OB OC OA OB OA OC 30，且|1，|2若(，R R)，则的值为 OA OB OC 3 OC OA OB _ 答案 6 解析 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1,0)，B，C(3，) ( 1 2， 3 2)3 由， OC OA OB 得Error!解得Error!所以6 二、高考小题 12(2016全国卷)已知向量a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，则m( ) A8 B6 C6 D8 答案 D 解析 由题可得a ab b(4，m2)，又(a ab b)b b
8、， 432(m2)0，m8故选 D 13(2015湖南高考)已知点A，B，C在圆x2y21 上运动，且ABBC若点P的坐标为 (2,0)，则|的最大值为( ) PA PB PC A6 B7 C8 D9 答案 B 解析 解法一：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径，故2(4,0)(O为 PA PC PO 坐标原点) 设B(cos，sin)，(cos2，sin)， PB (cos6，sin)， PA PB PC |7，当且仅当 cos1 时取 PA PB PC cos62sin2 3712cos3712 等号，此时B(1,0)，故|的最大值为 7故选 B PA PB PC 解法二：同解法一得2
9、(O为坐标原点)，又，|3 PA PC PO PB PO OB PA PB PC PO | OB 3|3217，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(1,0)，故 PO OB PO OB |max7故选 B PA PB PC 14(2018全国卷)已知向量a a(1,2)，b b(2，2)，c c(1，)若c c(2a ab b)，则 _ 答案 1 2 解析 由题可得 2a ab b(4,2)，c c(2a ab b)，c c(1，)，420，即 1 2 15(2015全国卷)设向量a a，b b不平行，向量a ab b与a a2b b平行，则实数 _ 答案 1 2 解析 由于a a，b b
10、不平行，所以可以以a a，b b作为一组基底，于是a ab b与a a2b b平行等价于 ，即 1 1 2 1 2 16(2015江苏高考)已知向量a a(2,1)，b b(1，2)，若ma anb b(9，8)(m，nR R)， 则mn的值为_ 答案 3 解析 由a a(2,1)，b b(1，2)，可得ma anb b(2m，m)(n，2n)(2mn，m2n)， 由已知可得Error!解得Error!故mn3 17(2017江苏高考)如图，在同一个平面内，向量， ，的模分别为 1,1， ，与 OA OB OC 2 OA 的夹角为，且 tan7，与的夹角为 45若mn(m，nR R)，则 OC
11、 OB OC OC OA OB mn_ 答案 3 解析 解法一：tan7，0， cos，sin 2 10 7 2 10 与的夹角为， OA OC 2 10 OA OC |OA |OC | mn，|1，|， OC OA OB OA OB OC 2 2 10 mnOA OB 2 又与的夹角为 45， OB OC 2 2 OB OC |OB |OC | mOA OB n 2 又 cosAOBcos(45)coscos45sinsin45 ， 2 10 2 2 7 2 10 2 2 3 5 |cosAOB ， OA OB OA OB 3 5 将其代入得mn ，mn1， 3 5 1 5 3 5 两式相加
12、得mn ，所以mn3 2 5 2 5 6 5 解法二：过C作CMOB，CNOA，分别交线段OA，OB的延长线于点M，N， 则m，n，由正弦定理得 OM OA ON OB ，|， |OM | sin45 |OC | sin135 |ON | sin OC 2 由解法一，知 sin，cos， 7 2 10 2 10 | ， OM 2sin45 sin135 1 sin45 5 4 | ON 2sin sin135 2 7 2 10 sin45 7 4 又mn，|O|1， OC OA OB OM ON OA B m ，n ，mn3 5 4 7 4 解法三：如图，设Om，Dn，则在ODC中有 D OA C OB ODm，DCn，OC，OCD45， 2 由 tan7，得 cos， 2 10 又由余弦定理知 Error! 即Error! 得 42nm0，即m105n，代入得 12n249n490，解得n 或n ， 2 5 7 4 7 3 当n 时，m105 0(不符合题意，舍去)，当n 时，m105 ，故 7 3 7 3 5 3 7 4 7 4 5 4 mn 3 5 4 7 4 三、模拟小题 18(2018长春质检二)已知平面向量a a(1，3)，b b(2,0)，则|a|a2b b|( ) A3 B3 C2 D5 22 答案 A 解析 a a2b b(1
