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1、4.4.圆锥曲线圆锥曲线 1在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点 P(1,2) (1)求抛物线C的方程； (2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|PN|.求直线AB 的斜率 解 (1)依题意，设抛物线C的方程为y2ax(a0)， 由抛物线C经过点P(1,2)，得a4， 所以抛物线C的方程为y24x. (2)因为|PM|PN|， 所以PMNPNM，所以12， 所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0. 依题意，直线AP的斜率存在， 设直线AP的方程为y2k(x1)(k0)， 将其代入抛物线C的方程， 整理得k2x2
2、2(k22k2)xk24k40. 设A(x1，y1)，则 1x1， k24k4 k2 y1k(x11)2 2， 4 k 所以A，以k替换点A坐标中的k， ( k22 k2 ，4 k2) 得B. ( k22 k2 ，4 k2) 所以kAB1.所以直线AB的斜率为1. 4 k 4 k k22 k2 k22 k2 2在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)和直线l：x4，圆C与直线l相切，并且圆 心C关于点F的对称点在圆C上，直线l与x轴相交于点P. (1)求圆心C的轨迹E的方程； (2)过点F且与直线l不垂直的直线m与圆心C的轨迹E相交于点A，B，求PAB面积的取 值范围 解 (1)设圆心C(
3、x，y)，则圆心C到点F的距离等于它到直线l距离的一半， |4x|， x12y2 1 2 化简得圆心C的轨迹方程为1. x2 4 y2 3 (2)设直线m的方程为xky1， 由Error!得(3k24)y26ky90，0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y2，y1y2， 6k 3k24 9 3k24 |y1y2|12， y1y224y1y2 k21 9k424k216 PAB的面积S |y1y2|PF|18. 1 2 k21 9k424k216 设tk211， 则， k21 9k424k216 t 3 t12 1 9t1 t6 设f(t)9t 6，t1，则f(t)90， 1 t
4、 1 t2 f(t)在1，)上单调递增，f(t)f(1)16， S18 ， 1 16 9 2 即PAB面积的取值范围为. (0， 9 2 3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且C过点. x2 a2 y2 b2 3 2 (1， 3 2) (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成 等比数列，证明：直线l的斜率为定值 (1)解 由题意可得Error!解得Error! 故椭圆C的方程为y21. x2 4 (2)证明 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0， 设直线l的方程为ykxm(m0)， 由Error!消去y， 整理得(14
5、k2)x28kmx4(m21)0， 直线l与椭圆交于两点， 64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0. 设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1x2，x1x2， 8km 14k2 4 m21 14k2 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2. 直线OP，l，OQ的斜率成等比数列， k2， y2 x2 y1 x1 k2x1x2kmx1x2m2 x1x2 整理得km(x1x2)m20， m20， 8k2m2 14k2 又m0，k2 ， 1 4 结合图象(图略)可知k ，故直线l的斜率为定值 1 2 4已知抛物线：x22py(p0)
6、，直线y2 与抛物线交于A，B(点B在点A的左侧) 两点，且|AB|4. 3 (1)求抛物线在A，B两点处的切线方程； (2)若直线l与抛物线交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交 y轴于点Q，求QMN面积的最大值 解 (1)由x22py，令y2，得x2，所以 44，解得p3，所以x26y，由 pp3 y，得y ，故 2 3 |xy . x2 6 x 3 2 3 3 所以在A点的切线方程为y2(x2)，即 2xy20，同理可得在B点的 2 3 3333 切线方程为 2xy20. 33 (2)由题意得直线l的斜率存在且不为 0， 故设l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2
7、，y2)， 联立Error! 得x26kx6m0，36k224m0， 所以x1x26k，x1x26m， 故|MN|2. 1k236k224m31k23k22m 又y1y2k(x1x2)2m6k22m4，所以m23k2，所以|MN|2 31k2 ， 43k2 由36k224m0，得0，得 10，即m20， 8 3 当 b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的 x2 a2 y2 b2 左、右顶点)，过右焦点F2作F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且 |OQ|2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为 4. 3 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线
8、l：xmy4(mR R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A，直 线AB交x轴于点D，求当ADB的面积最大时，直线l的方程 解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为 4ab4，得ab2. 1 233 延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为F1PF2的外角平分线的垂线， 所以|PF2|PR|，Q为F2R的中点， 所以|OQ|a， |F1R| 2 |F1P|PR| 2 |F1P|PF2| 2 所以a2，b， 3 所以椭圆C的方程为1. x2 4 y2 3 (2)联立Error!消去x， 得(3m24)y224my360， 所以(24m)2436(3m24)144(m24)
9、0，即m24. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)， 由根与系数的关系， 得y1y2，y1y2， 24m 3m24 36 3m24 直线AB的斜率k， y2y 1 x2x1 y2y1 x2x1 所以直线AB的方程为yy1(xx1)， y1y2 x2x1 令y0，得xD4， x1y2x2y1 y1y2 my14y2y 1 my24 y1y2 2my1y2 y1y2 故xD1，所以点D到直线l的距离d， 3 1m2 所以SADB |AB|d18. 1 2 3 2y1y224y1y2 m24 3m24 令t(t0)，则SADB18， m24 t 3t216 18 3t16 t 18 2 3 16 3 3 4 当且仅当 3t，即t2m24，即m24，m时，ADB的面积最大， 16 t 16 3 28 3 2 21 3 所以直线l的方程为 3x2y120 或 3x2y120. 2121
