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1、课时跟踪检测（十五）课时跟踪检测（十五） 导数的概念及运算导数的概念及运算 A 级 保分题准做快做达标 1曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A(1e)xy10B(1e)xy10 C(e1)xy10D(e1)xy10 解析：选 C 由于ye ，所以y|x1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切 1 x 线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10. 2已知函数f(x)aln xbx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线xy10 垂直，则a 的值为( ) A1B1 C3D3 解析：选 D 由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上， 所以f(1)1，即aln 1b
2、121，解得b1， 所以f(x)aln xx2， 故f(x) 2x. a x 则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率kf(1)a2， 因为切线与直线xy10 垂直， 所以a21，即a3. 3(2019珠海期末)曲线yx32x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A30B45 C60D120 解析：选 B 由题意知点(1,3)在曲线yx32x4 上yx32x4，y3x22， 根据导数的几何意义，可知曲线yx32x4 在点(1,3)处的切线的斜率ky|x11，曲线 yx32x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 45.故选 B. 4(2019青岛模拟)已知f1(x)sin xco
3、s x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x) f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 018(x)( ) Asin xcos xBsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x 解析：选 C f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x) sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)的解析式以 4 为周期重复出现，2 01845042，f2 018(x)f2(x)sin xcos x，故选 C. 5(2019山
4、东省实验中学一模)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处 的切线方程为xy0，则点P的坐标为( ) A(0,0)B(1，1) C(1,1)D(1，1)或(1,1) 解析：选 D f(x)3x22ax，依题意，得Error!解得Error!或Error!故选 D. 6(2019湖北黄石二中一模)若直线ykx2 是函数f(x)x3x23x1 图象的一条切 线，则k( ) A1B1 C2D2 解析：选 C 直线ykx2 过(0,2)，f(x)3x22x3，设切点为(x0，y0)，故切线方程 为yy0(3x2x03)(xx0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0xx3x0
5、1，解得 2 03 02 0 x01，y00，代入ykx2，解得k2. 7(2019银川一中月考)设函数f(x)x3x24x1，则导 3sin 3 cos 2 0， 5 6 数f(1)的取值范围是( ) A3,4B3,6 3 C4，6D4，4 333 解析：选 B 求导得f(x)x2sin xcos 4，将x1 代入导函数，得f(1) 3 sin cos 42sin4，由，可得，sin 3 ( 6) 0， 5 6 6 6 ，2 3 ，2sin43,6故选 B. ( 6) 1 2，1 ( 6) 8(2019巴蜀中学模拟)已知曲线y在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为 2x x1 2，则直
6、线l的方程为( ) 5 A2xy20 B2xy20 或 2xy180 C2xy180 D2xy20 或 2xy180 解析：选 B y，y|x22，因此 2x12x x12 2 x12 2 212 kl2，设直线l方程为y2xb，即 2xyb0，由题意得2，解得 |2 24b| 55 b18 或b2，所以直线l的方程为 2xy180 或 2xy20.故选 B. 9(2019成都双流区模拟)过曲线yx22x3 上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐 标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是( ) 1， 3 2 A.B. 0， 2 0， 4 C0，)D. 3 4 ，) 解析：选 B 因为y2x2,
7、1x ，所以 02x21.设切线的倾斜角为，则 3 2 0tan 1.因为 0，所以 0，故选 B. 4 10(2019广东七校联考)函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图象 大致是( ) 解析：选 A 法一：由题意，得f(x)cos xx(sin x)cos xxsin x，f(x) f(x)，所以f(x)为偶函数又f(0)1，所以排除 C、D；令g(x)f(x)cos xxsin x，则g(x)xcos x2sin x，易知g(0)0，且当x时，g(x) (0， 2 0，f(x)单调递增，所以f(x)在x0 处取 ( 2 ，0 得极大值，排除选项 B.故选 A. 法二：由题
8、意，得f(x)cos xx(sin x)cos xxsin x，又f(0)1，所以排除 C，D；当x时，ycos x单调递减，对于yxsin x，yxcos xsin x0，则 (0， 2 yxsin x单调递增，则f(x)cos xxsin x在上单调递减故选 A. (0， 2 11(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_ 解析：因为y ，y|x12，所以切线方程为y02(x1)，即y2x2. 2 x 答案：y2x2 12若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2 的最小距离为 _ 解析：由yx2ln x，得y2x (x0)， 1 x 设点P0(x0，y
9、0)是曲线yx2ln x上到直线yx2 的距离最小的点， 则yxx02x01，解得x01 或x0 (舍去) 1 x0 1 2 点P0的坐标为(1,1) 所求的最小距离为. |112| 22 答案： 2 13(2019石家庄二中月考)已知函数f(x) ，g(x)x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相 1 x 切，则直线l的斜率为_ 解析：因为f(x) ，所以f(x)，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率 1 x 1 x2 (x1， 1 x1) k，故切线方程为y(xx1)，即yx.与g(x)x2联立，得x2x 1 x2 1 1 x1 1 x2 1 1 x2 1 2 x1 1 x2 1 0.因
10、为直线l与曲线g(x)相切，所以 24 0，解得x1 ，故斜率 2 x1 ( 1 x2 1) ( 2 x1) 1 2 k4. 1 x2 1 答案：4 14(2019淄博六中期末)曲线yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离为 _ 解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线 2xy30，即斜率是 2，则y|xx0 2，解得x01，所以y00，即点P(1,0)又点P到直线 2xy30 的距离为 2 2x01 ，所以曲线yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是. |203| 221255 答案： 5 15(2019孝感高中期中)已知函数f(x)x3x. (1)求曲线
11、yf(x)在点M(1,0)处的切线方程； (2)如果过点(1，b)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数b的取值范围 解：(1)f(x)3x21，f(1)2. 故切线方程为y02(x1)，即 2xy20. (2)设切点为(x0，xx0)，则切线方程为y(xx0)f(x0)(xx0) 3 03 0 又切线过点(1，b)，所以(3x1)(1x0)xx0b， 2 03 0 即 2x3xb10. 3 02 0 由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解 记g(x)2x33x2b1，则g(x)有三个不同的零点， 而g(x)6x(x1)，令g(x)0 得x0 或x1，则结合图像可知g(0)g(1)2 时，
12、y0，则y(1x)ex在(，2)上 单调递减，在(2，)上单调递增，x2 时，函数y取得极小值e2.又当x2 时总有 y(1x)ex0，可得实数a的取值范围是.故选 D. ( 1 e2，0) 2(2019山东名校调研)已知曲线yexa与yx2恰好存在两条公切线，则实数a的取值 范围是( ) A2ln 22，)B(2ln 2，) C(，2ln 22D(，2ln 22) 解析：选 D 由题意可设直线ykxb(k0)为它们的公切线，联立Error!可得 x2kxb0，由0，得k24b0 .由yexa求导可得yexa，令 exak，可得 xln ka，切点坐标为(ln ka，kln kakb)，代入yexa可得kkln kakb . 联立可得k24k4ak4kln k0，化简得 44a4ln kk.令g(k)4ln kk，则g(k) 1，令g(k)0，得k4，令g(k)0，得 04.g(k)在(0,4) 4 k 内单调递增，在(4，)内单调递减，g(k)maxg(4)4ln 44，且k0 时，g(k) ，k时，g(k).有两条公切线，方程 44a4ln kk有两解， 44a4ln 44，a2ln 22.故选 D.
