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1、专题专题 5252 不等式不等式 基本不等式基本不等式 2 2 【考点讲解考点讲解】 一、具本目标：一、具本目标：基本不等式： . （1） 了解基本不等式的证明过程. （2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是 不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节， 且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用 二、知识概述：二、知识概述： 基本不等式基本不等式 1.如果,Ra b，那么（当且仅当ab时取等号“=” ）. 推论：（,Ra
2、 b）. 2.如果0a ，0b ,则， （当且仅当ab时取等号“=” ）. 推论：（0a ，0b ） ；. 3 【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运 用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆 项，并项，也可乘上一个数或加上一个数， “1”的代换法等 2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可 以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含 有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通
3、 过解不等式进行求解 注意：形如yx (a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函 a x 数的单调性求解 3.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件 “一正”是说每个项 都必须为正值， “二定”是说各个项的和(或积)必须为定值 “三相等”是说各项的值相等时，等 号成立 （2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一 致性 4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最
4、小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 4.利用基本不等式求最值要灵活运用两个公式， （1），当且仅当ab时 取等号；（2）, a bR ， ，当且仅当ab时取等号；首先要注意公式的使用 范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法”“1 的妙用” 求最值. 【答案】A 2.若直线 2axby20(a0，b0)平分圆x2y22x4y60，则 的最小值是( ) 2 a 1 b A2 B.1 22 32 D32 22 【解析】圆心为(1,2)在直线 2axby20 上，ab1， ba 12 (ab)3 32.当且仅当 ，即a2，
5、b1 时等号 2 a 1 b 2b a a b2 2b a a b22 成立 【答案】C 3.若ab0，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，求ab的最小值 4.某厂家拟在 2016 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年 促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只 k m1 能是 1 万件已知 2016 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投 入两部分资金) (1)将 2016 年该产
6、品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家 2016 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【解析】(1)由题意知，当m0 时，x1(万件)， 13kk2，x3， 2 m1 每件产品的销售价格为 1.5(元)，2016 年的利润y1.5x816xm 816x x 816x x (m1)29(m0) 16 m1 5.在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知60B ,4ac （1）当, ,a b c成等差数列时，求ABC的面积； （2）设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值 【解析】 （1）因为 , ,a b c 成等差数列，所以， 由余弦定理，得，解得 4ac ， 从而. （2）方法一：因为D为AC边的中点，所以， 则 1 4 4 ac ， 当且仅当a c 时取等号，所以线段BD长的最小值为 3 . 方法二：因为D为AC边的中点，所以可设， 由，得， 即， 又因为， 即，所以， 故，当且仅当a c 时取等号， 所以线段BD长的最小值为 3 . 6. 已知函数 （1）当4a 时,求函数( )f x的最小值及相应的x的值； （2）,求实数a的取值范围. 【解析】 （1）当4a 时, , 当且仅当,即2x 时,( )f x取得最小值 0.
