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1、土木工程力学（少学时）,超静定结构概述,力法的基本原理与典型方程,位移法的基本原理与典型方程,单跨静定梁的内力计算,目录,单跨静定梁的内力计算,01,超静定结构概述,第9章 超静定结构内力的传统计算法,第 1 节,第 1 节 超静定结构概述,一、静定结构与超静定结构,从几何组成上讲，几何不变且无多余联系，从计算上讲，支座反力与内力都可用平衡条件求出的结构叫静定结构。,静定结构,结构的支座反力和内力，仅用平衡条件无法完全确定；从几何构造来看，这类结构是具有多余联系的几何不变体。,超静定结构,二、 超静定次数的确定方法,第 1 节 超静定结构概述,01,02,撤除一个支座链杆或切断一根链杆，相当于
2、去掉一个多余约束,撤除一个固定铰支座或撤除一个中间铰，相当去掉两个约束,二、 超静定次数的确定方法,第 1 节 超静定结构概述,03,04,撤除一个固定端支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个多余约束,把刚性连接处改为单铰连接或把固定端支座改为固定铰支座，相当于去掉一个约束,第1节 杆件变形的基本形式与变形固体的基本假设,对于同一超静定结构可以按不同的方式撤除多余联系，从而得到不同形式的基本结构，但无论采用何种形式，超静定的次数是不变的。 （1）基本结构必须是几何不变系，即只能撤除多余链杆约束，而不可撤除维持几何不变所需的必要链杆约束. （2）基本结构一般应是静定的，所以应撤除外部支座及内部全部
3、多余联系。,02,力法的基本原理与典型方程,第9章 超静定结构内力的传统计算法,第 2 节,第 2 节 力法的基本原理与典型方程,一、力法中的基本未知量和基本体系,原超静定结构的基本体系: 指包含多余未知力和荷载的静定结构。,二、一次超静定结构的力法方程,设11 和1F 分别为多余未知力及荷载 q 单独作用在基本结构上时，B 截面沿X1的位移，如图 c、d 所示，这些位移与多余末知力的正方向相同时为正，否则为负。按叠加原理有 再如图 e 所示，11 表示X11(单位多余未知力)引起 B 点竖向位移，则有11 11 X1 ，于是上式改写成 11 和1F都是静定结在已知力作用下的位移，上式称为一次
4、超静定结构的力法方程。,第 2 节 力法的基本原理与典型方程,若要求得式中X1，应首先求得11 和1F。11 和1F都是静定结构B点在已知外力作用下的位移计算问题，均可按单位荷载法求得。 (1) 分别画出在X1 和荷载 q 作用下的弯矩图 M1 图和 MF 图，如图、所示。按图乘法求得 (2) 把 11、1F代入，求得多余未知力 (3) 上式为正值，表示X1 的实际方向与假定相同，即竖直向上。 多余未知力 X1 求出后，其余所有反力和内力从基本体系可看出都属于静定结构计算问题。绘制弯矩图则可以应用已画出的 M1 、MF 图，应用叠加法 (4) 例如：A 截面弯矩值为 于是可作出M图（最后弯矩图
5、），如图 c所示。,第 2 节 力法的基本原理与典型方程,三、力法的典型方程,撤除原结构 B 端约束，以相应的多余未知力X1、X2代替原固定铰支座约束作用，同时考虑荷载作用，可得基本体系如图 所示。 原结构在支座B处是固定铰支座，将不会产生水平、竖向线位移，因此，在基本体系上B点沿X1、X2方向位移也应为零。即位移条件应为 设单位多余未知力 和荷载 F 分别单独作用在基本结构上时： B 点沿X1方向产生位移记为11 、12和1F ；沿 X2 方向产生的位移记为21 、22和F （图c、d、e） 按叠加原理，基本体系应满足的位移条件可表示为 对于n次超静定结构，则必有n个多余未知力，相应地也就有
6、n个已知位移条件，假如原结构在撤除多余约束方向位移皆为零时，则可以建立如下n个力法方程。,这就是求解n次超静定结构的力法典型方程式。,第 2 节 拉压杆的内力计算,用力法计算超静定结构步骤如下：,（1）撤除多余联系，假设多余未知力，考虑荷载，绘出基本体系；,（2）将基本体系和原结构相比较，按位移条件建立力法典型方程；,（3）在基本结构上，绘出单位弯矩图和荷载弯矩图，用图乘法求出主、副系数和自由项；,（5）按叠加法或静力平衡条件作出内力图。,（4）列力法典型方程，解力法典型方程，求解全部多余知力；,例 9- 1,例 试用力法计算图 a 所示两跨连续梁，并绘制 M 图。EI = 常数。,例 9-
7、2,例 试用力法计算图 a 所示超静定桁架。设各杆EA = 常数，求出各杆的轴力。,例 9- 3,例 试用力法计算图 a 所示超静定组合结构的内力并作内力图。其中梁式杆AB刚度为EI = 2 104 kNm2； 杆件AD、BD为EA =2.5105 kN；杆件 CD 为 EA = 5 105 kN,例 9- 4,例 图 a 所示等截面单跨超静定梁，已知支座B下沉的竖向位移为，试求该梁的弯矩图和剪力图。,例 9- 5,例 图 a 所示为一两端固定的超静定梁，全跨承受均布荷载 q 的作用，试用力法计算，并绘制内力图。,03,位移法的基本原理与典型方程,第9章 超静定结构内力的传统计算法,第 3节,
8、第 3 节 受扭圆杆的内力计算,一、位移法的基本原理,力法计算超静定结构是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较高时，用力法计算比较麻烦。 而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,位移法的基本原理是： 以独立的结点位移（包括结点角位移和结点线位移） 为基本未知量，以一系列单跨超静定梁的组合体为基本结构，由基本结构在附加约束处的受力与 原结构一致的平衡条件建立位移法方程，先求出结点位移，再利用位移与内力的关系，进一步计算出杆件内力。,二、等截面单跨超静定梁的杆端力,等截面单跨超静定梁
9、的杆端力的分类 形常数：指当单跨超静定梁仅在梁端发生单位位移时，在该梁两端所引起的杆端弯矩与杆端剪力。由梁端单位位移引的杆端内力，仅与梁的支承情况、 几何尺寸、 材料特性有关，故称为形常数。 载常数：指当单跨超静定梁两端支座不发生位移，仅由于荷载作用而引起的 杆端弯矩和剪力，实即力法中所讲的固端弯矩和固端剪力。固端弯矩及固端剪力只与荷载作用形式及支承情况有关，故称为载常数。,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,二、位移法的典型方程,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,1 . 位移法基本未知量的确定 位移法是以结构上刚结点的角位移和独立的结
10、点线位移为基本未知量的。 如图 a 所示结构，有两个刚结点（1、2结点），故其角位移未知量数目为2，设为 Z1 、 Z2 。,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,确定结构独立的结点线位移时，既要考虑刚结点的水平和竖向线位移，也要考虑铰结点的水平和竖向线位移。 对于受弯直杆通常略去轴向变形，即认为杆件长度是不变的，从而减少了结构独立的线位移未知量数目。 如图 a所示结构的结点 1、 2、3均无竖向线位移，由于横杆长度不变，结点1、 2、3水平线位移是相同的，故只有一个独立的水平线位移未知量 Z3。因此结构（图 a ）的基本未知量数目为3。 结构独立的结点线位移一般用观察法确定，对于较难观察的可用 “
11、铰化法” 确定： 先把结构中所有刚结点和固定端支座都改为铰结点和固定铰支座，然后进行几何组成分析，增加最少的支座链杆使结构成为几何不变体系，所增加的链杆数目就是独立的结点线位移数目。 例如图 a 所示结构，将其 “ 铰化” 后须增加一个 支座链杆才 能成为几何 不变体系（ 图 ），故结构有一个独立的结点线位移。,二、位移法的典型方程,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,2 . 位移法基本未知量的确定 位移法是以一系列单跨超静定梁的组合体为原结构的基本结构的。 为了构成基本结构，要在刚结点上附加刚臂，以控制刚结点的转动； 在有线位移的结点处附加支座链杆，以控制结点线位移。 例如，图 a所示刚架的位移
12、法基本结构如图 c所示。 其中附加刚臂处的“ ” 表示角位移； 附加支座链杆处的 表示线位移。 . 位移法的典型方程 对于具有 n 个基本未知量 Z 1 、 Z2、 、 Z n的结构，则附加约束（附加刚臂或附加链杆） 也有 n 个，由 n 个附加约束上的受力与原结构一致的平衡条件，可建立 n 个位移法方程为,二、位移法的典型方程,第 3 节 受扭圆杆的内力计算,求出结点位移 Z1、 Z2、 、 Z n后，可用叠加法按下式计算各杆端弯矩值并绘出结构的最后弯矩图 式中 和荷载单独作用于基本结构上时的弯矩。 用位移法解 题步骤概括如下： （1）确定位移法基本未知量，画出位移法基本结构。 （2）列位移
13、法典型方程。 （3）作单位弯矩图、 荷载弯矩图，求系数及自由项。 （4）解方程，求出基本未知量。 （5）用叠加法绘 M 图。,例 9- 6,例 用位移法计算如图所示刚架，并绘 M 图。,例 9- 7,例 试用位移法计算图 a 所示刚架，并绘制弯矩图。,04,力矩分配法,第9章 超静定结构内力的传统计算法,第 4 节,第 4 节 力矩分配法,一、力矩分配法的计算思路,力矩分配法是计算超静定结构的一种渐近法 当不考虑杆件轴向变形时，在荷载作用下刚结点 l 处不产生线位移，只产生一个角位移 Z1 。 刚架中各杆的杆端弯矩值可看成是由两种因素引起的，一种是刚结点处不产生角位移，只由荷载引起的杆端弯矩值
14、，即相当于结点 l 处附加刚臂，以 M F1约束转动时，荷载引起的杆端弯矩值（图 b），我们称其为固定状态； 另一种是刚结点产生 Z1 角位移所引起的杆端弯矩值，即相当于在结点 l 处施加一力矩 M1 MF1 ，使结点 l 转动 Z1角时的杆端弯矩值（图 c），我们称其为放松状态。 于是我们可以分别对固定状态和放松状态进行计算，再把算得的各杆杆端弯矩值对应叠加，即得到原刚架各杆的杆端弯矩值。,第 4 节 力矩分配法,二、 力矩分配法的三要素,固端弯矩 力矩分配系数和分配弯矩 传递系数和传递弯矩,第 4 节 力矩分配法,三、单结点的力矩分配,力矩分配法的物理概念简述： 先在刚结点 B 加上阻止转
15、动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩。 结点 B 各杆固端弯矩之和即为约束力矩 MB 。 去掉约束（即相当于在结点 B 新加 M B ），求出各杆 B 端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力 矩。 叠加各杆端记下的力矩就得到实际的杆端弯矩。,例 9- 8,例 如图所示为一连续梁，试用力矩分配法作弯矩图,第 4 节 力矩分配法,四、多结点的力矩分配,连续梁 ABCD 在中间跨加砝码后的变形曲线如图 a 所示，相应于此变形的弯矩即为要计算的目标。 （1）先在结点 B 和加约束，阻止结点转动，然后再加砝码（图 b）。 这时，可把连续梁分成三根单跨梁，仅 BC 一跨有变形，如图中虚线所
16、示。 （2）去掉结点 B 的约束（ 图 c，注意此时结点 C 仍夹紧），这时结点 B 将有转角，累加的总变形如图 c 中虚线所示。 （3）重新将结点 B 夹紧，然后去掉结点 C 的约束。 累加的总变形将如图 d 中虚线所示。 从模型中可以看出，此时变形已比较接近实际变形。 依此类推，再重复批二步和第三步，即轮流去掉结点 B 和结点 C 的约束。 连续梁的变形和内力很快就达到实际状态，但每次只放松一个结点算。 最后， 将各项步骤所得的杆端弯矩（ 弯矩增量）叠加， 即得所求的杆端弯矩（ 总弯矩）。 实际上， 只需对各结点进行两到三个循环的运算， 就能达到较好的精度。,例 9- 9,例 试作图 a 所
