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1、习题1如图，P为等边ABC内一点，APB=113，APC=123，试说明：以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数解：将APC绕点A顺时针旋转60得AQB，则AQBAPCBQ=CP，AQ=AP，1+3=60，APQ是等边三角形，QP=AP，QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，APB=113，6=APB-5=53，AQB=APC=123，7=AQB-4=63，QBP=180-6-7=64，以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数分别为64，63，53习题3 P是等边ABC中的一点，PA=2,PB=2倍根号3，PC=4，则BC 的边长是多少？把AP
2、C绕点A顺时针旋转60到AMB，则AM=AP=2，BM=PC=4,PAM=60连结PM，则PAM是等边三角形，PM=2在PBM中，PM+PB=2+(23)=16BM=4=16PM+PB=BMPBM是直角三角形，BPM=90APB=90+60=150过A作ADBP交BP的延长线于D，则APD=30AD=1,PD=3AB=1+（33)=28BC=AB=27习题4 已知四边形abcd中,ab=ad,bad=60,bcd=120,证明bc+dc=ac证明：连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DEAB=AD，BAD=60，AB=ADABD是等边三角形ADB=60，AD=BDBCD=120DCE=
3、60DCE是等边三角形CDE=60，DC=DEADC=BDEACDBDEAC=BE=BC+CD习题5 如图,己知在ABC中,AB=AC,BAC=90,点D是BC上的任意一点,探究BD+CD与AD的关系证明：作AEBC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE=CE= 1/2BC，由勾股定理可得：AB+AC=BC，AE=AB-BE=AC-CE，AD=AE+ED，2AD=2AE+2ED=AB-BE+（BD-BE）+AC-CE+（CE-CD）=AB+AC+BD+CD-2BDBE-2CDCE=AB+AC+BD+CD-2 1/2BCBC=BD+CD
4、，即：BD+CD=2AD习题6 D,E是等腰直角三角形斜边BC所在直线上的两点，满足DAE=135，求证CD+BE=DEBAC=90，AC=AB，将ABE绕点A逆时针转90，得ACF，则ABEACF，EAF=90，BE=CF，ACF=ABE=45，AE=AF,DAE=90，EAF=135,DAF=135,ADFADE，DE=DF，DCF=DCA+ACF=90，DC+CF=DF,DC+BE=DE 习题七GF平行于AB平行于CD,P又是中点， HDP= GFP, HPD= GPE,P为中点，所以 HDP全等于 GFP,这样DH=GF,所以CH=CG，则有等腰 CHG，有P为HG中点,所以PCPG,
5、因为菱形ABCD ABC=60 所以 DCB=120 CP为角平分线， PCG=60 PG:PC=3证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，P是线段DF的中点，FP=DP，GPF=HPD，GFPHDP，GF=HD，GFP=HDP，GFP+PFE=120，PFE=PDC，CDH=HDP+PDC=120，四边形ABCD是菱形，CD=CB，ADC=ABC=60，点A、B、G又在一条直线上，GBC=120，四边形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCGBC，CH=CG，DCH=BCG，DCH+HCB=BCG+HCB=120，即HCG=120CH=CG，PH=PG， PG
6、PC，GCP=HCP=60，PGPC=3即PG=3PC习题8已知在RtABC中,AB=BC;在RtADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.（1） 证：RtABC中，因为AB=CB;所以角A=角C=45 RtADE中，AD=DE，所以角AED=角ADE=45 因为M是EC中点 所以MB=MC=ME=MD 角EMD=角MCD*2; 角EMB=角BCE*2 所以角DMB=角EMD+角EMB=2*(角MCD+角MCB)=2*角C=90 所以BM=DM且BM垂直DM (2)证明:取AE的中点G,AC的中点F,连接DG,MG,BF,MF.又M为CE中点,则:MF=AE/2=DG;GM=
7、AC/2=BF;GMAC;MFAE.(中位线的性质)得:MFC=EAC=EGM;又BFC=EGD=90度.则MFB=DGM.BFMMGD(SAS),BM=DM;FBM=GMD.又GM平行AC,BF垂直AC,则GM垂直BF.故FBM+BMG=90度=GMD+BMG,即BMD=90度,得:BMDM.习题九如图所示，在ABC中，BAC=120，P是ABC内部一点，试比较PA+PB+PC与AB+AC的大小关系解：把PAB绕A点顺时针旋转60度得QAD，则D，A，C在同一直线上。AP=AQ，AB=AD，且PAQ=BAD=60所以，PAQ和BAD均为正三角形。所以，AP=PQ，AD=AB由APB全等于AQ
8、D知：PB=QD而DQ+PQ+PCAD+AC,即：PA+PB+PCAB+AC习题10 在矩形ABCD中,AB=600,BC=1000,P是内一点,Q是BC边上任意一点,试确定点P、Q的位置，使得PA+PD+PQ最小，明显的对称。如果P点距离AB与距离CD距离不一样大会是最小吗？显然不会，因为如果不一样明显可以在中线另一侧找到一个对应点拥有同样的距离。因此P点一定在BC中垂线上，而Q的横坐标一定与P一致，原因不解释，很明显。以A为原点，AD为x轴，BA为y轴建立坐标系，则P横坐标为500。下面根据坐标求距离列方程应该不难吧？说下最后结果吧600+500*3其实最后就变成求距离三角形三个顶点最近的点的问题了，也就是求费马点的问题，就是三边垂直平分线交点，有兴趣可以百度下学习学习。8
